Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 23. Формулировка основных задачИз вышесказанного можно заключить, что основная задача теории представлений состоит в их «спектральном анализе», т. е. в разложении произвольных представлений на неприводимые. Однако в действительности эта задача обладает более разнообразными аспектами. Прежде всего, выделяются следующие самостоятельные задачи: 1. Описать все неприводимые представления (с точностью до эквивалентности) данной группы G. 2. Выяснить вопрос о возможности полной приводимости (в том или ином классе групп и их представлений) 3. Описать (если они существуют) представления приводимые, но неразложимые, т. е. неразложимые в прямую сумму хотя бы двух представлений. Далее, если ограничиться более простым классом вполне приводимых представлений, то естественно ожидать, что они разлагаются (в конечную сумму или абстрактный интеграл) по неприводимым представлениям. Это действительно так в конечномерном или унитарном случае. Изучение вполне приводимых представлений сводится при этом к спектральному анализу и изучению отдельных неприводимых компонент. Здесь в свою очередь особо выделяются следующие задачи: 4. Разложение регулярного представления группы G. 5. Сужение неприводимых представлений с группы на подгруппу (дано неприводимое представление группы 6. Описание алгебры неприводимых представлений по отношению к тензорному произведению. В действительности некоторые из этих задач взаимосвязаны. В частности, поскольку регулярное представление является, как мы знаем, «вместилищем» всех неприводимых представлений группы G (§ 18), спектральный анализ этого представления может явиться источником для решения задачи 1. Далее, если перейти к проблеме классификации функций на однородном многообразии, то возникают следующие вопросы: 7. Аппроксимация функций на группе G и многообразии X «элементарными гармониками» группы G. Описание специальных функций, связанных с этими гармониками. 8. Вопросы комплексификации (группы Ли, ее представлений, однородных многообразий). 9. Симметрия уравнений, в частности дифференциальных и интегральных, по отношению к группам и алгебрам Ли. Аналоги операторов Лапласа для группы Ли. Специально отметим также следующую классическую задачу: 10. Разложение произвольных тензоров по отношению к данной линейной группе G. Гармонический анализ на группе тесно связан с изучением групповых алгебр относительно свертки на группе G. Особый интерес представляет изучение «двойственности» между группой G и множеством 11. Изучение групповых алгебр относительно свертки на группе G. Построение общей теории двойственности Заметим, что решение последней задачи, несомненно, открыло бы ряд новых закономерностей в теории представлений. Наконец, в общей теории групп важное значение имеет следующая задача; 12. Выяснить, допускает ли данная абстрактная группа G точное линейное представление, т. е. возможна ли ее изоморфная реализация в виде группы матриц. В настоящее время известно (см., например, §§ 31, 104), что для «большого числа» важных классов групп Ли проблема 12 решена положительно. Пример отрицательного решения приводится на стр. 469. Более точная постановка и решение некоторых задач для отдельных классов групп будут изложены в этой книге. Доказанные в этой главе фундаментальные результаты теории конечномерных представлений (лемма Шура, теорема Бернсайда) сохраняют свой вид над произвольным алгебраически замкнутым полем (заметим, что при доказательстве леммы Шура использовалось существование корней векового уравнения После того как эти результаты получены, можно наиболее просто построить теорию представлений для произвольных конечных групп. Однако в следующей главе мы сразу перейдем к рассмотрению значительно более широкого класса групп, так называемых компактных групп Ли, изучение которых и является основным предметом этой книги.
|
1 |
Оглавление
|