ГЛАВА IX. ОПЕРАТОРЫ КАЗИМИРА

Мы уже не раз встречались с приложениями леммы Шура к теории представлений. В этой главе исследуем еще одну возможность такого приложения — в рамках инфинитезимального метода. Речь будет идти о построении операторов, которые могут быть выражены как полиномы от инфинитезимальных операторов группы и которые перестановочны с каждым из операторов Пока изучим лишь простейшие свойства таких операторов. Предварительно рассмотрим общую алгебраическую схему для произвольной алгебры Ли.

§ 58. Универсальная обертывающая алгебра

Пусть X — произвольная алгебра Ли с базисом структурными константами

Будем рассматривать символы как образующие некоторой ассоциативной алгебры, в которой

и в которой между образующими нет иных соотношений, независимых от Иначе говоря, пусть линейная оболочка всевозможных одночленов вида

с ассоциативным умножением и пусть

Мы будем считать, что элемент равен нулю тогда и только тогда, когда его возможно представить как сумму элементов вида где произвольные элементы из В частности, Соответственно два элемента считаются равными, если их разность есть нуль (иначе говоря, если они приводятся друг к другу с помощью соотношений коммутации

Полученная алгебра X называется универсальной обертывающей алгеброй или ассоциативной оболочкой алгебры В алгебре X естественно использовать обычное определение коммутатора:

которое согласно совпадает с определением коммутатора в X в том частном случае, когда х, у — линейные комбинации Следовательно, можем считать, что и коммутатор любых двух элементов записывается в обычной альтернативной форме. Положим также

Если х, у — два произвольных элемента из произвольные числа, то получаем следующие тождества:

первое из которых очевидно, а второе является следствием тождества Якоби в алгебре Оба эти тождества в частности означают, что отображение является представлением алгебры X, действующим в самой алгебре Это представление принято называть присоединенным представлением алгебры

Если произвольные элементы из X, то имеет также место следующее тождество («правило дифференцирования»)

которое, в частности, при позволяет заключить, что удовлетворяет тождеству 2°, т. е. является представлением алгебры X во всей алгебре Докажем теперь, что имеет место Теорема 1. Всевозможные одночлены

при образуют базис в алгебре То же верно для элементов

где символ означает симметризацию по индексам

где произвольная подстановка индексов

Доказательство. Пусть произвольная линейная комбинация одночленов ее старший член, содержащий все слагаемые с Положим

где предполагается свертка по Ясно, что с помощью соотношений коммутации мы можем расположить сомножители в произвольном порядке, изменяя лишь слагаемые с меньшей степенью однородности. В частности, можем считать, что разлагается лишь по одночленам при Но тогда по индукции то же верно и для всего элемента х с заменой на

Заметим, далее, что если тензор антисимметричен по отношению к хотя бы одной паре индексов, то существует (ввиду соотношений коммутации) такая запись

полинома х, при которой Действительно, не ограничивая общности, можем считать, что этими индексами являются Используя тождество

замечаем, что под знаком второе слагаемое можно отбросить (оно имеет меньшую степень однородности). Следовательно как свертка симметрического тензора с антисимметрическим.

Рассмотрим теперь оператор симметризации и положим Используя диаграммы Юнга, мы можем заключить, что

где каждый тензор является антисимметрическим по отношению хотя бы к одной транспозиции индексов Согласно сделанному выше замечанию все эти тензоры дают нулевой вклад в т. е.

Но в этой свертке, очевидно, можно заменить на

То же верно и при

Теперь остается доказать, что элементы линейно независимы при Пусть тогда согласно определению алгебры представляется как сумма элементов вида Напомним, что Заменяя в этом выражении элементы вспомогательными числами замечаем, что обращается в нуль. Следовательно, и также обращается в нуль при подстановке вместо ей коммутирующих символов Но если

при всех числовых значениях то симметрический тензор также обращается в нуль. Следовательно, мы заключаем, что если у элемента х все тензоры коэффициентов записаны в симметричной форме, то равенство равносильно обращению всех этих тензоров в нуль.

Следовательно, элементы образуют линейный базис в пространстве составленном из всех полиномов степени

Наконец, поскольку наше утверждение доказано для то оно также верно и для при (из соображений размерности).

Теорема доказана.

Следствие 1. Запись каждого элемента в симметризованной форме однозначна.

Следствие 2. Алгебра X как линейное пространство изоморфна алгебре всех полиномов от числовых переменных

Последнее утверждение (равносильное теореме 1) известно под названием теоремы Биркгофа — Витта.

Замечание. Соответствие между алгеброй и алгеброй полиномов не является мультипликативным, т. е. умножению двух таких полиномов не соответствует умножение соответствующих элементов Однако нетрудно видеть, что этому умножению соответствует перемножение старших членов введенных при доказательстве теоремы 1.

Следствие 3. Если X — алгебра Ли группы то алгебра X изоморфна уже как алгебра) алгебре всех дифференциальных операторов на порожденных левыми сдвигами на G. То же верно для правых сдвигов.

Доказательство предоставляется читателю.

В ближайшее время нас будет интересовать не вся алгебра а только ее центр, который мы обозначим символом 3- Множество 3 по определению состоит из всевозможных элементов каждый из которых перестановочен со всеми элементами из Такие элементы называются центральными или операторами Казимира. Условие центральности можно также выразить

формулой для всех элементов Множество 3, очевидно, является подалгеброй в алгебре

Если представление алгебры X, то всякий оператор является линейной комбинацией операторов Полагая для краткости

мы ставим в соответствие каждой линейной комбинации элементов линейную комбинацию операторов с теми же коэффициентами. Полученное соответствие обозначим по-прежнему символом

где, однако, уже Если то оператор условимся называть оператором Казимира представления ясно, что всякий такой оператор перестановочен со всеми операторами Если неприводимо, то в силу леммы Шура

т. е. оператор Казимира кратен единичному. Это свойство операторов Казимира особенно существенно для многих вопросов теории представлений.