§ 105. Группа Вейля

При изучении структуры полупростой комплексной алгебры Ли и ее линейных представлений важнейшую роль играет симметрия в классе корней и корневых векторов, существование которой было установлено в гл. XIV. Более детальное изучение этой симметрии позволяет связать с каждой комплексной полупростоп алгеброй Ли некоторую конечную группу симметрии, называемую группой Вейля. В случае алгебры эта группа определяется как группа подстановок базисных векторов.

Пусть X — полупростая комплексная алгебра Ли и ее фиксированная картановская подалгебра. Для каждой пары векторов преобразование

является зеркальным отражением относительно гиперплоскости На, ортогональной вектору а. Мы будем называть такое преобразование отражением по направлению вектора а.

Введем обозначение для группы, порожденной отражениями где а пробегает систему всех простых корней алгебры Группа называется группой Вейля.

Теорема 13. Группа Вейля сохраняет систему корней и содержит все отражения где а — произвольный корень алгебры

Доказательство. Если корни, то, как мы видели в § 92, где минимальное и максимальное из целых чисел для которых является корнем. Следовательно, вектор

является корнем (действительно, откуда Отсюда следует также, что группа Вейля сохраняет вещественное подпространство натянутое на корни алгебры

Выбросим из На все гиперплоскости ортогональные корням; тогда оставшееся множество распадается на конечное число связных областей; каждая такая область называется камерой Вейля.

Положим, в частности,

где простые корни алгебры Очевидно, это множество является связным. Если то хотя бы при одном значении Это означает, что либо либо отделено от гиперплоскостью Следовательно, является камерой Вейля.

Лемма. Всякая камера Вейля может быть получена из камеры некоторым преобразованием группы Вейля.

Доказательство леммы. Заметим вначале, что группа является конечной (действительно, эта группа состоит из перестановок корней, число которых конечно). Фиксируем точки и среди

конечного множества точек выберем точку ближайшую к Заметим, что ни при одном значении Действительно,

что невозможно, ибо является корнем. Следовательно, либо либо отделяется от хотя бы одной гиперплоскостью Но в последнем случае отражение приближает В силу выбора это невозможно, т. е. Следовательно, при некотором (поскольку К связно). Из максимальности К следует равенство Лемма доказана.

Рассмотрим теперь произвольный корень а и выберем камеру К таким образом, чтобы ее граница пересекалась с гиперплоскостью На по многообразию размерности На. Если то, очевидно, при некотором Отображение является зеркальным отражением относительно гиперплоскости На. Следовательно, и отсюда следует, что Теорема доказана.

Следствие 1. Группа конечна.

Следствие 2. Каждый корень а может быть получен некоторым преобразованием из простого

Действительно, если то Поскольку то одно из преобразований переводит а в

Заметим теперь, что всякий автоморфизм может быть продолжен (§ 94, следствие из теоремы 4) до автоморфизма всей алгебры Уточнением этого утверждения является

Теорема 14. Пусть присоединенная группа для алгебры максимальная компактная подгруппа в порожденная компактной формой Вейля. Тогда для каждого существует преобразование совпадающее с на картановской подалгебре

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай Докажем, что в этом случае

где положено

Действительно, если , то и отсюда следует, что оставляет гиперплоскость На неподвижной. Остается применить к элементу Заметим, что трехмерное пространство инвариантно относительно и оператор х в этом пространстве может быть записан в виде матрицы где и

относительно базиса Заметим, что следовательно, откуда

В частности, отсюда следует, что В результате на картановской подалгебре Остается заметить, что х содержится в компактной форме Вейля. Теорема доказана.

Рассмотрим более подробно некоторые свойства группы Вейля, которые часто используются в приложениях. Для краткости положим Всякий элемент запишем в виде

Цепочку назовем несократимой, если невозможно представить в виде где подпоследовательность индексов

1° Рефлексия переводит в и переставляет все остальные положительные корни между собой. Доказательство. Если а — положительный корень, то все коэффициенты должны быть неотрицательны (§ 93). Имеем

Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то все остальные коэффициенты неотрицательны и Если же при то и

2° Если элемент переводит всякий положительный корень в положительный, то

Доказательство. Положим и условимся рассматривать только несократимые цепочки. Доказательство будем вести индукцией по

Если то 2° непосредственно следует из 1°. Если то положим

Очевидно (ввиду 1°), что переводит в отрицательный корень (и переставляет все остальные положительные корни между собой). Разобьем цепочку следующим образом;

Если то полагаем Подберем номер таким образом, чтобы но В этом случае непременно тсогт Исходя из определения рефлексий, находим отсюда, что

Следовательно, Значит, и цепочка сократима, вопреки предположению. Полученное противоречие показывает, что

Наше утверждение доказано. В иной формулировке оно выглядит следующим образом:

Теорема 15. Группа Вейля действует просто транзитивно на совокупности камер Вейля.

(Говорят, что группа G действует просто транзитивно на множестве если для каждой пары точек существует одно и только одно преобразование группы переводящее

Действительно, как мы видели при доказательстве теоремы 13, группа Вейля действует транзитивно на совокупности камер Вейля. В частности, для каждой камеры Вейля К. Если то Согласно 2° отсюда заключаем, что

Система состоящая из корней, называется фундаментальной, если каждый корень а однозначно представляется в виде где числа одновременно либо положительны, либо отрицательны. Из теоремы 15 вытекает

Следствие. Группа Вейля просто транзитивна на совокупности всех фундаментальных систем.

Доказательство предоставляется читателю. (Достаточно установить соответствие между фундаментальными системами и камерами Вейля; см. также В заключение отметим еще одну замечательную характеристику группы Вейля:

3° Группа Вейля изоморфна где -совокупность всех внутренних автоморфизмов, сохраняющих картановскую подалгебру и подгруппа всех автоморфизмов вида

Доказательство см., например, в [128], стр. 182— 187.