§ 124. Следствия из формулы Вейля

Отметим некоторые простые следствия из формулы Вейля, которые относятся к нахождению кратностей весов и описанию спектра тензорного произведения двух неприводимых представлений.

1° Еще одна рекуррентная формула для кратностей весов. Умножим обе части формулы Вейля на знаменатель и приравняем полученные линейные комбинации экспонент:

Рассмотрим произвольный вес отличный от старшего веса тогда, как мы знаем, следовательно, не может совпадать ни с одним из значений Следовательно, суммарный коэффициент в левой части при должен равняться нулю. Но этот коэффициент получается суммированием по тем весам для которых В результате

Поскольку, как мы знаем, для всех значений то эта формула является рекуррентной. Действительно, она может быть переписана в виде

где все веса, входящие в правую часть, строго больше Эта формула значительно проще рекуррентной формулы

Фрейденталя. Эту формулу можно назвать рекуррентной формулой по «звездочке» .

2° Формула Костанта. Попробуем разложить в бесконечный (формальный) ряд по экспонентам Напомним, что Отсюда ясно, что искомое разложение сводится к перемножению геометрических прогрессий:

Здесь функция определяется следующим образом: при есть число различных разбиений вектора в сумму положительных корней. Функция называется функцией разбиения. Подставляя теперь полученное разложение в характер — находим

Остается сравнить коэффициенты при каждом базисном элементе Для каждого подбираем из равенства . В результате получаем следующую формулу:

Эта формула впервые была найдена Костантом ([19]), однако значительно более сложным путем. Указанный простой вывод был отмечен П. Картье [99] и Р. Штейнбергом [147]. Практическое применение этой формулы связано еще со значительными вычислениями.

3° Тензорное произведение двух неприводимых представлений. Вычисляя характер тензорного произведения с одной стороны, как произведение характеров сомножителей и, с другой

стороны, как сумму характеров неприводимых компонент входящих с кратностями получаем следующее равенство:

Здесь мы предварительно умножили обе части на и заменили характеры соответствующими альтернированными суммами Символ означает весовую диаграмму представления Рассуждая, как при выводе 1°, получаем следующее равенство:

Это равенство выражает искомую кратность через весовую диаграмму представления Путем несложных преобразований получаем отсюда, как и в § 77, спектральную формулу для

Здесь суммирование ведется по всем весам представления если существует такое преобразование для которого если такого не существует и переводит вектор в доминантный вектор, обозначаемый

Заметим, что вышеуказанная формула для кратности была получена еще Г. Вейлем [10]. Г. Вейль отметил также, что подобный прием пригоден всегда при разложении некоторого представления на неприводимые при условии, что известен характер представления В частности, аналогичная формула может быть получена при исследовании сужений с группы на подгруппу.