§ 134. Сферические функции в n-мерном евклидовом пространстве

Как известно, теория сферических функций в трехмерном вещественном евклидовом пространстве тесно связана с гармоническими полиномами от трех переменных. Мы опишем краткую схему перенесения этой теории на произвольное число переменных. Выбирая квадратичную форму в виде суммы квадратов, рассмотрим соответствующий оператор Лапласа:

Полином называется гармоническим, если

Теорема 6. Всякий полином может быть однозначно представлен в виде

(конечная сумма), где гармонические полиномы. Линейное пространство всех однородных гармонических полиномов степени является циклической оболочкой единственного полинома

относительно группы вращений Здесь х, у — проекции вектора х на два произвольных взаимно ортогональных направления.

Доказательство. Не ограничивая общности, можем считать, что Введем в рассматриваемое -мерное пространство «картановские» координаты где разбиение индексов на пары (при четном с

дополнительным индексом нечетном Тогда скалярное произведение в принимает вид

Аналогично может быть записан и оператор Лапласа (через формальные операторы дифференцирования по Отсюда, в частности, очевидно, что всякий полином вида является гармоническим.

Заметим, что всякий полином может быть однозначно продолжен на комплексные значения Переменные мы можем при этом считать независимыми.

Расположим переменные в порядке убывания индексов от до (с пропуском нуля при четном ). Не ограничивая общности, можем считать, что Рассмотрим в группе комплексных поворотов однопараметрические преобразования

где а принимает одно из значений Если то с помощью таких преобразований мы можем обратить в нуль все координаты вектора х, кроме При этом координата остается неизменной, а новая координата определяется из условия Если применить все указанные преобразования к произвольному полиному то получаем в результате полином от двух переменных Поскольку не делится на то полученный полином является также полиномом от

Пусть линейное пространство всех однородных полиномов степени Каково бы ни было инвариантное подпространство в мы видим, что оно содержит полином, зависящий только от В частности, всякое неприводимое подпространство является циклической оболочкой такого полинома. Воспользовавшись теперь принципом полной приводимости, мы можем заключить, что есть прямая сумма

неприводимых подпространств, каждое из которых является циклической оболочкой некоторого одночлена от

Пусть циклическая оболочка одночлена Мы видим, что распадается в прямую (конечную) сумму:

В частности, является циклической оболочкой одночлена Из гармоничности этого одночлена и перестановочности оператора Лапласа с поворотами вытекает гармоничность всякого элемента С другой стороны, если то где однородный полином степени нетрудно видеть, что такой полином является гармоническим только при Если гармоничен, то и мы заключаем, что Отсюда также

Сопоставляя с найденным выше разложением, мы получаем оба утверждения теоремы. Теорема доказана.

Следствие

Следствие 2. Сужение всякого полинома на единичную сферу разлагается по сужениям однородных гармонических полиномов.

Сужение однородного гармонического полинома на сферу называется сферической функцией.

Следствие 3. Всякая непрерывная функция на сфере может быть равномерно аппроксимирована линейными комбинациями сферических функций.

Действительно, согласно теореме Вейерштрасса всякая непрерывная функция на 5 аппроксимируется сужениями полиномов на 5. Остается воспользоваться следствием 2.

Пусть пространство всех сужений Сферические функции из назовем

сферическими функциями степени В пространстве функций на 5 рассмотрим обычное скалярное произведение

где инвариантная мера (относительно поворотов) на сфере 5. Заметим, что где элемент объема в пространстве В каждом конечномерном пространстве выберем некоторый ортогональный базис.

Теорема 7. Сферические функции всевозможных степеней образуют ортогональный базис в гильбертовом пространстве

Доказательство. Рассмотрим вначале две сферические функции где при произвольном выборе проекций , у, у. Выражая х, у через х, у и некоторые добавочные ортогональные координаты, мы получаем

где черта означает комплексное сопряжение и линейная комбинация добавочных координат. Подставляя эти выражения в скалярное произведение произведем поворот на угол а в плоскости (х,у). Тогда откуда

С другой стороны, скалярное произведение в не изменяется при поворотах, т. е. правая часть должна совпадать со своим значением при Поскольку то показатель не принимает нулевого значения, откуда заключаем, что

Мы показали, что сот при пгфт. Отсюда, очевидно, следует, что Остается заметить, что согласно следствию 3 сферические функции образуют в полную систему. Теорема доказана.

Доказанная выше теорема 6 позволяет также без труда вычислить все сферические функции степени

Действительно, рассмотрим в комплексной группе всевозможные однопараметрические преобразования вида

Такие преобразования вместе с диагональными преобразованиями (которые для наших целей несущественны) порождают всю группу Нетрудно видеть, что все указанные преобразования оставляют неподвижным, за исключением случаев, когда Все эти преобразования перестановочны между собой. Применяя их к вектору получаем функцию

Величина определяется из условия ортогональности матрицы поворота, первая строка которой имеет элементы Напомним, что ортогональность записывается по отношению к картановскому базису Отсюда получаем, что — скалярный квадрат вектора Заменяя нумерацию от до нумерацией положим

где Очевидно, среди этих функций содержится базис пространства Для дальнейшего изучения базисных функций естественно использовать редукцию При этом возникает ортогональный базис пространства Дальнейшие вычисления предоставляются читателю.

Функцию естественно назвать производящей функцией степени I. Формула, определяющая является формулой типа формулы Родрига для полиномов Якоби. Из этой формулы легко получить

выражения сферических функций через полиномы Гегенбауэра. Такое выражение найдено иным путем в [14].

Замечание 1. Результаты ортогональности и полноты могут быть получены также как следствие глобальной теоремы, если использовать отображение на описанное в § 17.

Замечание 2. Поскольку в пространстве действует представление группы то вся теория, изложенная в этом параграфе, может быть интерпретирована как сужение где