§ 115. Теория спиноров

В предыдущем параграфе было показано, что ортогональная группа двусвязна, и также была эффективно построена ее универсальная накрывающая Группа обозначается и называется спинорной группой. В этом параграфе приводится ее классическое построение и рассматриваются симметрические тензоры для этой группы (называемые спинтензорами).

Кроме того, в конце параграфа намечается еще одно элементарное доказательство существования спинорных представлений, основанное на общей формуле «канонической модели».

1° Спинорная группа. Выберем в -мерном пространстве базис таким образом, чтобы скалярный квадрат вектора задавался обычной формулой: Будем рассматривать символы как образующие некоторой ассоциативной алгебры с соотношениями

где символ Кронекера. В частности, Тогда скалярный квадрат совпадает с квадратом элемента

Алгебра называется алгеброй Клиффорда. Ниже мы укажем матричную реализацию алгебры

Рассмотрим теперь линейную оболочку X всех попарных произведений и обозначим символом оператор коммутирования с элементом :

Здесь произвольный элемент из алгебры Клиффорда и коммутатор означает Нетрудно проверить, что X является алгеброй Ли относительно этого коммутирования. Кроме того, мы имеем

Отсюда заключаем, что 1) пространство инвариантно относительно алгебры операторы являются кососимметрическими в пространстве операторы образуют базнс в алгебре всех кососимметрических операторов пространства

Пусть означает оператор рассматриваемый только на пространстве Отображение является точным линейным представлением алгебры Отсюда, в частности, заключаем, что алгебра X изоморфна

Покажем теперь, что алгебра имеет конечную размерность. Действительно, с помощью соотношений коммутации мы можем каждый одночлен от образующих записывать в упорядоченном виде:

Если то среди сомножителей в этом одночлене хотя бы один элемент встречается дважды; поскольку то степень можно понизить. В результате остаются только те одночлены для которых Число таких одночленов равно

Таким образом, алгебра Клиффорда имеет размерность

Каждый элемент мы можем рассматривать как линейный оператор . С этой точки зрения а является матрицей Таким образом, алгебра имеет точное матричное представление. (Действительно, если для всех то, в частности, откуда Алгебру мы будем теперь отождествлять с указанным матричным представлением.

В частности, алгебра получает точное матричное представление размерности Заметим, что линейное пространство можно рассматривать как прямую сумму подпространств, составленных из всевозможных р-векторов над Отсюда следует, что скалярное произведение из продолжается на всю алгебру так, что элементы из X остаются кососимметрическими. Согласно теореме 5 гл. V в группе существует связная подгруппа с алгеброй Ли Мы полагаем

Вернемся к -мерному представлению алгебры Поскольку оно задается формулой то соответствующее представление группы задается формулой внутреннего дифференцирования:

Поскольку дифференциал такого представления состоит из кососимметрических матриц, то само представление ортогонально, т. е. матрицы представления содержатся в Мы получаем отображение группы на группу

Упражнение

(см. скан)

Замечание 1. Предыдущее построение справедливо как над вещественным, так и над комплексным полем! соответствующая

сгшнорная группа обозначается или Для группы мы укажем еще одну матричную реализацию, основанную на рассмотрении матриц Паули:

Пусть 1 означает единичную матрицу и Положим

Здесь матрица или встречается на месте с номером и общее число сомножителей равняется (При и нечетном, мы полагаем Нетрудно проверить, что матрицы удовлетворяют нужным коммутационным соотношениям и косоэрмитовы.

Следовательно, группа допускает также точное унитарное представление размерности где Группа является комплексификацией

Вернемся теперь к стандартной методике построения неприводимых представлений. Метрический тензор мы выберем так же, как и в § 114. Положим и рассмотрим семейство сигнатур вида соответствующее представление имеет вид

т. е. является (в некотором смысле) симметрической степенью спинорного представления Если тявляется целым числом, то представление может быть реализовано как представление, индуцированное одномерным представлением подгруппы составленной из матриц.

Действительно, это утверждение является частным случаем теоремы 2. Для указания явной формулы представления мы вводим в группу G «бинарное разложение»:

где пробегает произвольные матрицы кососимметричные относительно второй диагонали. (Подобное разложение с симметрическими матрицами , х мы рассматривали в § 113 для группы После несложных вычислений получаем следующую формулу:

Здесь у — произвольная матрица кососимметричная относительно второй диагонали, и Согласно результатам § 114 эта формула сохраняет силу также и при полуцелом Пространство представления есть линейная оболочка всевозможных функций вида

В частности, мы видим, что спинорное представление может быть реализовано с помощью матричной «дробно-линейной подстановки» в линейной оболочке функций

Следовательно, все эти функции являются полиномами от элементов матрицы у.

Замечание 2. Если фундаментальный метрический тензор выбрать в виде

где единичная матрица то матрицы в формуле становятся кососимметричными относительно главной диагонали.

Из полученной формулы вытекает возможность элементарного доказательства существования представления Действительно, достаточно доказать, что для всякой пары кососимметрических матриц функция является полиномом.

Пример. Пусть Положим

Тогда при помощи несложных вычислений получим

Следовательно, в этом случае представление реализуется в четырехмерном пространстве, натянутом на базис

В общем случае в пространстве представления содержатся полиномы более высоких степеней.

Замечание 3. Поскольку зеркально сопряжено то нетрудно изучить также симметрические степени Кроме того, в § 129 мы увидим, что

для подгруппы изоморфной (вложенной в как указано в § 114). В частности, остается неприводимым при сужении на и отсюда получаем также явную формулу для

Продолжая редукцию с группы на подгруппу, мы покажем в гл. XVIII, что