§ 135. О представлениях группы движений n-мерного евклидова пространства

В этом параграфе мы рассмотрим нетривиальные примеры полуприводимых представлений. Если расширить ортогональную группу до группы движений -мерного евклидова пространства то такие представления естественно возникают в классе полиномов над Мы покажем, что метод старших векторов дает и в этом случае эффективный способ исследования представлений.

Определим группу G как совокупность всевозможных пар где и изоморфно Преобразования группы G в пространстве определяются формулой

Элементам вида отвечают повороты вокруг начала координат, элементам вида трансляции в Соответствующие подгруппы мы отождествляем с Закон умножения в G определяется очевидным образом. Группа G есть связная компонента единицы в группе всех движений пространства

Условимся рассматривать х как вектор-строку и записывать матрицу справа от х. Пусть пространство всех полиномов от х. Формула

определяет в представление группы G. Подпространство всех однородных полиномов степени не инвариантно относительно этого представления. Однако подпространство всех полиномов степени уже инвариантно относительно

Покажем, что представление в пространстве не является вполне приводимым. Для примера рассмотрим случай Имеем где одномерное подпространство, натянутое на вектор есть -мерное подпространство линейных форм, которое мы можем отождествить с пространством Оба эти подпространства инвариантны и неприводимы относительно В то же время для группы имеем

Если линейная форма, то Преобразования группы в двумерном подпространстве задаются неразложимой жордановой клеткой

Отсюда ясно, что представление группы G в пространстве также неразложимо, т. е. не может быть представлено в виде прямой суммы двух представлений. Действительно, каждое из этих представлений должно быть также представлением подгруппы т. е. совпадать с одним из представлений в и Но подгруппа трансляций действует неразложимо в паре

Перейдем к рассмотрению общего случая. Заметим, что инвариантно относительно Согласно рассмотрениям предыдущего параграфа единственными старшими векторами в являются векторы вида где координата вектора х относительно некоторого фиксированного базиса. Введем обозначение для циклической оболочки относительно подгруппы 5. Докажем, что имеет место

Теорема 8. Условимся для подпространств использовать лексикографическую упорядоченность относительно пары Тогда циклическая оболочка

подпространства относительно группы G содержит все подпространства подчиненные

Доказательство. Пусть означает линейную оболочку всех полиномов вида Докажем вначале, что имеет место

Лемма. Подпространства неприводимы относительно подгруппы за исключением

Доказательство леммы. Достаточно заметить, что умножение на отображает на и при четном число неприводимых слагаемых не повышается, а при нечетном — повышается на единицу. При этом расщепляется именно поскольку среди линейных комбинаций где линейная форма, содержится старший вектор Лемма доказана.

Теперь перейдем к доказательству теоремы. Фиксируем старший вектор и разложим по степеням параметров При этом степень однородности имеют только члены, линейные по Таких слагаемых только два:

Здесь первое слагаемое является старшим вектором в в то время как второе слагаемое содержится в подпространстве которое согласно лемме либо совпадает с либо распадается в сумму . Следовательно, циклическая оболочка относительно группы G имеет вид

Заменяя на или мы получаем шаг за шагом все подпространства для которых Теорема доказана.

Результат теоремы 8 удобно выразить графически. Пусть представление подгруппы 5 в подпространстве Условимся, что стрелки, исходящие от символа направлены в сторону тех подпространств которые содержатся в циклической оболочке Тогда,

например, для представлений, содержащихся в мы имеем

Здесь номер для каждого столбца означает степень однородности. Циклическая оболочка каждого подпространства содержит все подпространства символы которых расположены правее и выше символа если движение «выше» понимать в смысле наклонных стрелок. В заключение докажем, что имеет место

Теорема 9. Всякое инвариантное подпространство в пространстве является циклической оболочкой некоторого набора подпространств

Доказательство. Пусть инвариантное подпространство в его неприводимое инвариантное подпространство относительно Старший вектор в обязательно имеет вид

где Действительно, о является инвариантом группы 5, и потому сигнатура определяется только показателем Докажем, что содержит все векторы для которых В самом деле, циклическая оболочка содержит вектор

Здесь первый базисный вектор в разложении Наше утверждение доказывается теперь индукцией по степени полинома поскольку полином меньшей степени. Следовательно, содержит вместе с каждым старшим вектором также все

его компоненты входящие с ненулевыми коэффициентами. Но тогда, очевидно, содержит также соответствующие подпространства и является их циклической оболочкой. Теорема доказана.

Напомним, что согласно теореме 10 гл. XVI неприводимые представления группы по существу, не отличаются от неприводимых представлений подгруппы В то же время, как видно из рассмотрений этого параграфа, группа G имеет совершенно иные, «ступенчатые», структуры в классе приводимых представлений.

Как уже отмечено во введении к этой главе, здесь содержатся лишь фрагменты спектрального анализа конечномерных представлений. Одним из нерешенных в общем случае вопросов является вопрос о возможности разделения кратных точек весового спектра с помощью цепочки вложенных подгрупп. Представляет также несомненный практический интерес описание «понижающих» операторов неприводимого представления (см. § 68 для и более подробное изучение тензорных произведений

Базис неприводимого представления был построен И. М. Гельфандом и М. Л. Цейтлиным [73] в виде формальных схем с явным определением инфинитезимальных операторов на этих схемах. Аналогичный базис для был указан в статье [84]. Отдельные примеры §§ 132—134 рассматривались в курсе лекций [21]. Общая схема Z-инвариантов и теорема о тензорных произведениях излагаются согласно [84]; в этой же статье были рассмотрены полуприводимые представления группы движений -мерного евклидова пространства.