ГЛАВА XVIII. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

В этой главе будут рассмотрены несложные спектральные задачи, связанные с классическими линейными группами. Для группы такие задачи были уже рассмотрены ранее. В общем случае компактных и надкомпактных групп Ли мы вправе рассчитывать на значительную аналогию со случаем ввиду известной общности структуры. Однако сказываются также и различия в устройстве корневых систем. Практически для и особых картановских групп конкретные вопросы спектрального анализа еще недостаточно разработаны.

Мы остановимся главным образом на задаче сужения с группы на подгруппу. Эта задача, по существу, является основной в спектральном анализе конечномерных представлений. К ней, формально говоря, сводится также и задача о тензорном произведении двух неприводимых представлений («диагональ» в ). К этой задаче сводится также и описание весовых диаграмм (сужение в на картановскую подгруппу). Особенно существенную роль играет задача о сужении в теории специальных функций. Действительно, мы видели в гл. X (на примере базиса Гельфанда — Цейтлина), что сужение с группы на подгруппу доставляет нам систему «квантовых чисел», нумерующих базисные элементы в пространстве неприводимого представления.

§ 128. Общая схема сужения с группы на подгруппу

Пусть редуктивная связная группа Ли и ее редуктивная связная подгруппа. Неприводимое представление группы G всегда является вполне приводимым относительно

где означает неприводимое представление со старшим весом у. (Действительно, вполне приводимо по отношению к центру который содержится в картановской подгруппе группы и также вполне приводимо относительно полупростой компоненты в Следовательно, возникает задача о вычислении кратностей .

Мы будем рассматривать в этой главе только комплексные группы (Вещественный случай сводится к комплексному с помощью аналитического продолжения.) В комплексном случае мы можем непосредственно использовать метод Z-инвариантов, общая формулировка которого очевидна из частного случая группы

Следующая теорема является формулировкой метода Z-инвариантов применительно к задаче сужения. Мы предполагаем, что разложение Гаусса в группе G индуцирует разложение Гаусса в подгруппе Символом Z обозначается фиксированная корневая подгруппа в группе символом ее пересечение с Тогда является корневой подгруппой в Ради определенности мы считаем, что подгруппа Z порождается касательными векторами Представление реализуется в канонической модели на группе Z. Пространство представления обозначается

Теорема 1. Пусть совокупность всех функций из которые являются инвариантами подгруппы

Тогда вполне приводимо относительно картановской подгруппы и каждый собственный вектор

является старшим вектором подгруппы Кратность собственного значения равняется кратности вхождения

Доказательство. Достаточно напомнить, что вполне приводимо относительно и каждое неприводимое подпространство содержит лишь одно одномерное направление, неподвижное относительно

(направление старшего вектора). Это направление инвариантно также относительно и собственное значение определяет сигнатуру данного неприводимого представления. Теорема доказана.

Следовательно, задача спектрального анализа в относительно сводится к задаче спектрального анализа в относительно абелевой подгруппы Обычно решение этой задачи не представляет никаких затруднений. Значительно большая трудность состоит в описании самого пространства Действительно, для описания элементов этого пространства приходится использовать довольно сложную индикаторную систему.

Заметим, что искомые -инварианты являются фактически функциями на Естественно выбрать в этом фактор-пространстве достаточно удобные параметры и выразить в этих параметрах главные сдвиги, входящие в индикаторную систему. Так, в большинстве практически важных случаев удается представить группу Z в виде

где некоторое многообразие в Z, изоморфное евклидову пространству и такое, что В этом случае индивидуальное разложение дает нам систему параметров в группе Z и пространство состоит из всех решений индикаторной системы, зависящих только от Очевидно, индикаторную систему в этом случае также естественно выразить через параметры

Упрощение индикаторной системы получается реально лишь в тех случаях, когда многообразие имеет сравнительно небольшое число параметров (примерно того же порядка, что и ранг группы Это, во всяком случае, имеет место, если подгруппа «не слишком» отличается от группы G. Отсюда естественно приходим к идее постепенного сужения с группы на подгруппу, т. е. к рассмотрению цепочки вложенных подгрупп.

Упражнение

(см. скан)

Если корни подгруппы являются также корнями группы то такое вложение называется регулярным. Если то же имеет место для простых корней, то такое вложение называется нормальным (см. § 110). В действительности первый случай можно свести ко второму внутренним автоморфизмом, однако на этом мы здесь останавливаться не будем. Если вложение нормальное, то, как мы видели в § 110, корневая группа Z всегда допускает указанное выше разложение, причем Z является нормальным делителем в Z. В этом случае решение задачи значительно упрощается.

Очевидно, метод Z-инвариантов позволяет не только найти спектральную формулу, но также и определить все неприводимые подпространства (как циклические оболочки старших векторов).

После всех этих общих замечаний перейдем к рассмотрению отдельных примеров.