§ 12. Вопросы односвязности

В этом параграфе мы исследуем вопрос об односвязности некоторых классических групп. Вначале напомним некоторые простейшие сведения из общей топологии.

Пусть вначале произвольное множество, представимое в виде суммы непересекающихся подмножеств . В этом случае говорят, что семейство образует разбиение множества и множество В всех индексов называется фактор-пространством множества относительно этого разбиения. Переход от пространства к фактор-пространству В равносилен «склейке» всех точек, лежащих в одном и том же подмножестве Если все такие подмножества эквивалентны одному из них, скажем А, то для обозначения фактор-пространства используется символ

Далее, пусть топологическое пространство. Множество индексов назовем открытым (замкнутым) в В, если объединение всех подмножеств открыто (замкнуто) в Всякое открытое множество, содержащее точку называется окрестностью этой точки. Тем самым в В определяется топология, называемая фактортопологией.

Топологические множества называются гомеоморфными, если между ними существует взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение. Если

и если все слои гомеоморфны слою А, то мы условимся говорить, что пространство является расслоением со слоем А и базой В.

Пример 1. Лист Мёбиуса является расслоением с базой окружность и со слоем отрезок.

Пример 2. Двумерный тор является расслоением с базой окружность и со слоем окружность.

Пример 3. Прямое произведение произвольных топологических пространств можно рассматривать как расслоение со слоем А и базой В.

Далее, пусть произвольная группа и ее подгруппа. Каждому поставим в соответствие слой называемый правым классом смежности по Нетрудно видеть, что таким путем возникает разбиение с фактор-пространством Если топологическая группа и ее замкнутая подгруппа, то мы имеем расслоение со слоем

Понятие расслоения обычно используется для индуктивного изучения топологических множеств и топологических групп. В частности, мы будем использовать следующие общие утверждения (см., например, [46]):

1° Пусть связная группа Ли и ее замкнутая связная подгруппа. Если односвязны, то группа G также односвязна.

2° Пусть где топологические пространства. Пространство односвязно тогда и только тогда, когда односвязны

В дальнейшем мы условимся, что термин «односвязность» будет применяться только к связному топологическому множеству; иначе говоря, под этим термином мы будем иметь в виду одновременно связность и односвязность. Такое соглашение удобно, поскольку мы, как правило, будем рассматривать только связные топологические группы. Изучение классических линейных групп нам будет удобно начать с изучения группы

Теорема 7. Группа односвязна.

Доказательство. Связность легко вытекает из рассмотрения соответствующего множества реперов. Для доказательства односвязности рассмотрим единичную сферу в исходном векторном пространстве и фиксируем на ней произвольную точку, скажем Пусть стационарная подгруппа точки множество всех преобразований, оставляющих на месте. Положим

где Нетрудно видеть, что группа изоморфна В то же время фактор-пространство гомеоморфно сфере Действительно, пусть множество всех преобразований в переводящих в а. Если то откуда ясно, что

где произвольно фиксированный элемент из Если , то Следовательно, мы получаем взаимно однозначное соответствие между точками и правыми классами смежности, входящими в Нетрудно видеть также, что это соответствие взаимно непрерывно.

Теперь мы можем применить критерий односвязности 1°. Заметим, что единичная сфера хпхп изоморфна вещественной сфере размерности Вещественная сфера односвязна при к 2 (это утверждение легко проверяется по индукции). Согласно из односвязности следует односвязность при и мы получаем возможность индукции по Остается заметить, что состоит из единственной точки и потому односвязна. Теорема доказана.

Теорема 8. Группа односвязна.

Доказательство. Согласно разложению Грама (§ 9) группа гомеоморфна прямому произведению евклидова пространства на Согласно критерию 2° группа односвязна вместе с Теорема доказана

Теорема 9. Группы связны, но неодносвязны.

Доказательство. Достаточно заметить (см. упражнения 1 и 2 в конце § 9), что гомеоморфны соответственно прямым произведениям Согласно критерию 2° группы неодносвязны вместе с Теорема доказана.

Значительно более сложно исследуется случай ортогональной группы Группа неодносвязна. Оказывается также, что неодносвязна при любом Доказательство достигается путем непосредственного построения универсальной накрывающей.

Изложим схему построения в общих чертах. Пусть -мерное пространство с базисом Пространство включим в ассоциативную алгебру К, в которой парные произведения связаны единственным условием:

где символ Кронекера. Положим Пусть К — линейная оболочка таких одночленов. Согласно достаточно рассматривать лишь те одночлены, для которых кроме того, если два индекса совпадают, то возникающий множитель заменяется единицей. Следовательно, одночлены

образуют базис в алгебре В частности, К конечномерна. Полученная алгебра К носит название алгебры Клиффорда.

Введем скалярный квадрат в пространстве как сумму квадратов координат относительно базиса Если то мы имеем

Следовательно, квадрат элемента в алгебре К является скаляром и совпадает со скалярным квадратом в пространстве

Рассмотрим в алгебре К преобразование вида , где у — произвольный обратимый элемент из К. Пусть максимальное множество таких преобразований, сохраняющих и непрерывно связанных с единицей. Если то мы имеем

ибо является скаляром. Следовательно, В силу связности группы имеем Дальнейшие действия мы

излагаем сокращенно. Проверяется, что имеют одинаковую размерность. Проверяется, что ядро гомоморфизма дискретно. Следовательно,

Более точно, ядро гомоморфизма состоит из двух элементов: Это означает, что группа двукратно накрывает

В дальнейшем мы увидим, что группа односвязна. Эта группа называется спинорной группой и обозначается

Для каждого случая неодносвязной группы, рассматриваемого в этом параграфе, нетрудно вычислить также соответствующую группу Пуанкаре. В частности, группа Пуанкаре для при оказывается изоморфной конечной группе, состоящей из чисел ±1 (по умножению).

Упражнения

(см. скан)