§ 101. Разложение Ивасавы

В этом параграфе мы опишем еще одно замечательное разложение, которое является аналогом разложения матрицы в произведение треугольного и унитарного сомножителей. Мы могли бы, как и в предыдущем параграфе, рассматривать сразу общий случай редуктивной связной группы Ли. Однако предпочтем отдельно исследовать тот случай, когда группа G полупроста.

Теорема 7. Пусть произвольная связная полупростая комплексная группа Ли. Тогда эта группа допускает однозначное разложение вида

где максимальная компактная подгруппа в группе максимальная односвязная разрешимая подгруппа в G.

Доказательство. Рассмотрим вначале тот случай, когда группа G имеет тривиальный центр. Если X — алгебра Ли группы то G в этом случае изоморфна присоединенной группе алгебры X, т. е. связной компоненте единицы в группе всех автоморфизмов алгебры Согласно теореме 6 группа G допускает разложение Гаусса:

Мы условимся отождествлять группу G с присоединенной линейной группой, действующей в пространстве Рассмотрим в X эрмитово сопряжение, введенное в § 96, и определим компактную форму Вейля К с X, как совокупность всех косоэрмитовых матриц Заметим, что если а — произвольная положительно определенная матрица, то все ее диагональные главные миноры положительны и, следовательно, а допускает разложение Гаусса. Если матрица а эрмитова, то мы имеем для нее

Поскольку эрмитово сопряжение меняет местами и поскольку разложение Гаусса единственно, мы находим отсюда . В частности, является диагональной положительно определенной матрицей. Следовательно, все ее собственные значения положительны. Множество всех диагональных положительно определенных матриц из G мы обозначим Докажем, что является односвязной абелевой группой с алгеброй Ли где вещественная оболочка всех корней а

Заметим вначале, что матрица сохраняет соотношение коммутации Если собственные значения на элементах соответственно, то мы находим отсюда т. е. Следовательно, алгебра неподвижна относительно преобразования Далее, пусть собственное значение

преобразования на векторе Тогда, используя соотношение коммутации находим Следовательно, матрица вполне определяется своими собственными значениями где — произвольный простой корень. Положим поскольку простые корни образуют базис в то существует вектор для которого Следовательно, для всех корней а. Следовательно, и наше утверждение доказано.

Рассмотрим теперь произвольную матрицу и положим тогда получаем эрмитову положительно определенную матрицу а. Согласно сказанному выше где Далее, положим

где Поскольку матрица положительно определена, то радикал существует и также является элементом подгруппы Имеем

Следовательно, матрица и является унитарной. В результате мы имеем

Искомое разложение получено. Положим и обозначим символом пересечение группы G с унитарной группой тогда имеем

причем индивидуальное разложение однозначно. Таким образом, в нашем случае теорема доказана.

Заметим, что односвязная группа не содержит ни одной унитарной матрицы, кроме единицы. Следовательно, является максимальной компактной подгруппой в группе G.

Перейдем к рассмотрению общего случая. Утверждение теоремы доказано для группы где означает присоединенное представление. Следовательно,

где односвязная разрешимая подгруппа и максимальная компактная подгруппа в G. Следовательно, также

где связная компонента единицы в Действительно, из дискретности центра С (ядра представления следует (в противном случае несвязна); далее, при выбираем из условия и находим, что Поскольку связная группа накрывает односвязную группу то гомеоморфно В частности, разложение однозначно и аналитически зависит от Следовательно, также аналитически зависит от Отсюда имеем

где связная компонента единицы в (действительно, непрерывно стягивается к ). В частности, Отсюда следует (§ 103) компактность и конечность . Наконец, поскольку не содержит компактных подгрупп (кроме заключаем, что максимальная компактная подгруппа в G. Теорема доказана.

Следствие 1. Всякая редуктивная связная комплексная группа G допускает разложение вида где разрешимая подгруппа и максимальная компактная подгруппа в группе G.

Действительно, где полупростая компонента и связная компонента центра группы G.

Следствие 2. Пусть X — полупростая комплексная алгебра разрешимая вещественная подалгебра, натянутая на векторы компактная форма Вейля. Тогда мы имеем

(прямая сумма). Аналитическая подгруппа порожденная подалгеброй замкнута и односвязна. Аналитическая подгруппа порожденная подалгеброй замкнута и является максимальной компактной подгруппой в G.

Из прямого разложения следует локальная однозначность отображения группы на группу G в каждой точке Отсюда следует, что сответствие между и группой G является аналитическим гомеоморфизмом. Отсюда, в частности, получаем

Следствие 3. Полупростая связная комплексная группа Ли как топологическое пространство изоморфна произведению где евклидово пространство и компактная связная полупростая комплексная группа Ли.

Согласно следствию 3 топологическая структура группы G сводится, по существу, к топологической структуре группы . В частности, могут быть односвязными только одновременно.

Разложение теоремы 7 носит название разложения Ивасавы. Заметим, что группа G в этом разложении выступает фактически как вещественная полупростая группа Ли (с удвоенным числом параметров). В действительности теорема 7 легко обобщается ([85], [92], [128]) на произвольную полупростую вещественную связную группу Ли.