§ 106. Существование комплексной оболочки

До сих пор мы откладывали решение принципиального вопроса о существовании комплексной оболочки у произвольной компактной группы Ли. Теперь приступим

к решению этого вопроса. При доказательстве будем опираться только на глобальную теорему

Пусть произвольная компактная группа Ли. Поскольку G допускает точное линейное унитарное представление, мы будем считать, что G линейна, и записывать каждый элемент в виде унитарной матрицы Функцию мы назовем полиномом на группе если она представима в виде полинома от переменных

Лемма 1. Функция является полиномом на группе G тогда и только тогда, когда она представима в виде линейной комбинации матричных элементов группы G.

Доказательство. Напомним, что матричные элементы группы G суть матричные элементы ее неприводимых представлений. Согласно глобальной теореме каждое такое представление содержится в классе тензоров; следовательно, его матричные элементы являются полиномами на G. С другой стороны, каждый одночлен от является матричным элементом тензорного произведения вида где контрагредиентное представление G. В силу принципа полной приводимости этот одночлен раскладывается в сумму матричных элементов группы G. Лемма доказана.

Условимся записывать каждое неприводимое представление группы G в виде матрицы

где дискретный индекс, нумерующий представление, и Между матрицами существуют следующие соотношения:

с постояными матрицами С (зависящими от Действительно, каждое из этих соотношений выражает разложение на неприводимые компоненты. Для матричных элементов соответственно имеем

Мы условимся называть такие соотношения соотношс ниями Клебша—Гордана. Если выразить каждый из матричных элементов в виде полинома от то получаем систему алгебраических соотношений

которым удовлетворяют все матрицы Условимся называть такие соотношения фундаментальными соотношениями для группы G. Докажем, что имеет место

Лемма 2. Система чисел удовлетворяет соотношениям Клебша — Гордана

тогда и только тогда, когда эти числа могут быть представлены в виде

где числа удовлетворяют фундаментальным соотношениям с заменой на на

Доказательство. Заметим вначале, что если исходное представление группы G неприводимо, то параметры сами входят в число матричных элементов группы G. В общем случае мы положим

Здесь суммирование ведется по и обе суммы конечны. Если числа удовлетворяют соотношениям Клебша — Гордана, то мы положим

Тогда эти числа, очевидно, удовлетворяют соотношениям Фиксируем теперь индекс и рассмотрим представление в классе тензоров, содержащее тогда

мы имеем

Разлагая в свою очередь представления на неприводимые, получаем в левой части формальный полином (относительно операций Соответствующие соотношения между матричными элементами являются следствием сотношений Клебша — Гордана. Следовательно, они не изменятся, если вместо сделать подстановку чисел В результате

где числа выражаются указанными выше формулами через другой стороны, если числа удовлетворяют соотношениям то для чисел автоматически выполняются соотношения Клебша — Гордана. Лемма доказана.

Замечание. Если матрицы удовлетворяют фундаментальным соотношениям, то где штрих означает транспонирование.

Действительно, в число фундаментальных соотношений для матрицы входит условие унитарности:

которое выражает тот факт, что в тензорном произведении содержится единичное представление. Заменяя на на у, получаем нужное соотношение.

Введем теперь обозначение для множества всех пар х, у, удовлетворяющих системе фундаментальных соотношений

где один из полиномов системы Тогда является алгебраическим многообразием в Поскольку то мы можем рассматривать вложенным в группу

Лемма 3. Многобразие является группой.

Доказательство. В силу леммы 2 достаточно проверить, что если два набора удовлетворяют соотношениям Клебша-Гордана, то «произведение» , составленное из чисел

также удовлетворяет соотношениям Клебша — Гордана. Положим тогда согласно известному правилу тензорных произведений мы имеем

Используя соотношения Клебша — Гордана для наборов заключаем, что Кроме того, согласно замечанию на стр. 477 матрицы из обратимы в Лемма доказана.

Согласно построению группа G содержится в Следовательно, G содержится также в

Лемма 4. Группа G совпадает с совокупностью всех унитарных матриц из

Доказательство. Положим Поскольку группа линейна, всякий ее матричный элемент является полиномом от последние переменные в свою очередь могут быть разложены по матричным элементам зательство леммы 2). Из равенства таких полиномов нулю на группе G следует их равенство нулю на Следовательно, всякое неприводимое представление группы остается неприводимым при сужении на G. Как мы видели в § отсюда следует равенство Лемма доказана.

Лемма 5. Группа является правильной комплексной оболочкой группы G.

Доказательство. Заметим, что группа вместе с каждым элементом содержит также g.

ствительно, матрица С в соотношениях Клебша — Гордана унитарна, и это позволяет заменить каждый элемент на Следовательно, содержит также элемент Покажем, что содержит матрицу

Пусть произвольная положительно определенная эрмитова матрица из положим где матрица диагональна. Если один из определяющих полиномов для то для всех значений Следовательно,

Поскольку левая часть является полиномом от собственных значений матрицы то отсюда следует также, что для любого комплексного К. Следовательно, матрица содержится в при любом комплексном Полагая, в частности, заключаем, что содержится в при любом комплексном k. Следовательно, унитарная матрица и в полярном разложении

также содержится в Поскольку непрерывно зависят от то отсюда получаем, что многообразие изоморфно прямому произведению:

где совокупность всех положительно определенных матриц из Если то при всех комплексных в частности, содержится в G при всех вещественных Следовательно, С другой стороны, если то аналогичное рассуждение показывает, что при любом вещественном Следовательно, В результате, если -алгебра Ли группы алгебра Ли то мы имеем разложение в прямую сумму:

Следовательно, является комплексной оболочкой группы G. Кроме того, где 2? является

евклидовым пространством. Следовательно, каждая связная компонента группы содержит лишь одну связную компоненту группы G. Лемма доказана.

В результате получена следующая фундаментальная

Теорема 16. Всякая компактная группа Ли имеет правильную комплексную оболочку.

Нетрудно показать, что эта оболочка определяется однозначно (с точностью до изоморфизма). С другой стороны, как показано в § 101, всякая связная редуктивная комплексная группа Ли содержит компактную вещественную форму. Комбинируя с теоремой 16, получаем

Следствие. Множество всех надкомпактных связных групп Ли совпадает с множеством всех редуктивных связных комплексных групп Ли.

Заодно мы получили еще одно доказательство алгебраичности компактной группы Ли. Кроме того, мы видим, что ее комплексная оболочка также алгебраична.

Упражнение

Показать, что всякая полупростая комплексная связная группа G допускает разложение вида где подгруппы те же, что и в разложении Ивасавы. (Указание: привести положительно определенную матрицу к диагональному виду с помощью унитарного преобразования и