§ 4. Вопросы неприводимости
Исследование элементарных представлений на неприводимость проводилось многими авторами, начиная с первоначальных работ 
Гельфанда и М. А. Наймарка [68], в которых исследовались унитарные представления «основной серии» для классических групп. Окончательное решение вопроса было получено в работе автора [88]. Поскольку в доказательстве используется сложная полиномиальная техника, мы ограничимся только формулировкой результатов.
Скажем, что сигнатура 
имеет вырождение по направлению корня 
если числа 
являются целыми ненулевыми одинакового знака (т. е. 
). Скажем, что сигнатура а вырождена, если она имеет вырождение по направлению хотя бы одного корня. Результат исследования 
на неприводимость выражается следующей теоремой:
Элементарное представление 
топологически неприводимо тогда и только тогда, когда сигнатура а невырождена.
Оказывается также, что топологическая неприводимость 
равносильна алгебраической неприводимости дифференциала 
ее X, в линеале 
Кроме того, для неприводимых представлений 
выполняется следующий аналог теоремы Бернсайда: всякий непрерывный линейный оператор в пространстве 
может быть слабо аппроксимирован линейными комбинациями операторов 
Всякое представление, обладающее таким свойством, принято называть вполне неприводимым [88]. Следовательно, 
вполне неприводимо тогда и только тогда, когда сигнатура а иевырождепа.
Пусть 
группа Вейля алгебры 
Определим действие группы Вейля на сигнатуру 
по правилу 
Оказывается, что если сигнатура а невырождена, то представления 
эквивалентны. В общем случае между 
существуют некоторые соотношения «частичной эквивалентности».
Рассмотрим для примера группу Лоренца, т. е. группу 
В этом случае сигнатура имеет вид 
где 
комплексные числа с целой разностью 
Представление 
в реализации на группе Z имеет вид
Здесь 
комплексное число. Класс функций 
описан в книге [16]. Представление 
неприводимо тогда и только тогда, когда числа 
не являются одновременно целыми ненулевыми одинакового знака. Представления 
в этом случае эквивалентны.
Назовем для краткости вырожденную сигнатуру а целой точкой. Точку а будем называть положительной (отрицательной), если
Если точка а является целой положительной, то 
содержит в инвариантном подпространстве конечномерное неприводимое представление 
При этом оказывается, что оператор осуществляет «частичную эквивалентность» между 
аннулирует конечномерное подпространство представления 
и осуществляет эквивалентность фактор-представления 
с представлением 
Точно так же оператор 
осуществляет «частичную эквивалентность» между 
причем оказывается, что 
действует в инвариантном подпространстве 
эквивалентно 
