§ 70. Дифференциал d(a)

Мы можем теперь установить явные формулы для инфинитезимальных операторов в базисе Гельфанда-Цейтлина. Для диагональных операторов такая формула дается уже теоремой 3:

где ты сумма чисел, расположенных в строке таблицы Из сопряженности операторов следует, что достаточно изучить, например, подсистему повышающих операторов среди которых в свою очередь достаточно выделить подсистему образующих Наконец, из соображений индукции по цепочке достаточно рассмотреть единственный оператор

Лемма 12. Оператор действует на базисный вектор по формуле

где означает вектор с единицей на месте, добавляемый к строке

Доказательство. Согласно определению вектора он содержится в подпространстве неприводимом относительно с сигнатурой Поскольку оператор перестановочен со всеми преобразованиями группы при он может отображать только в себя (ввиду однократности в спектре Следовательно, строки при остаются неизменными. Далее, положим

где означает линейное пространство с базисом Вектор содержится в Формула

показывает, что V инвариантно относительно и инфинитезимальные операции этой группы получаются по правилу дифференцирования в тензорном произведении где преобразование -мерного вектора в Мы покажем в гл. XII, что

(где в правой части допускаются лишь те слагаемые, для которых является сигнатурой). Следовательно, разлагается по базисным векторам с сигнатурами Лемма доказана.

Мы можем теперь перейти к вычислению коэффициентов Представим вектор в виде

где понижающий оператор содержит все операторы в соответствующих степенях и

Согласно лемме 12 применение оператора к вектору равносильно его применению к вектору , т. е.

Поскольку вектор является старшим относительно подгруппы схема имеет вид

где и все остальные строки получаются усечением из Следовательно, наша задача свелась к вычислению Используя снова лемму 12, находим

Согласно лемме 8 мы имеем

в применении к весовому вектору где значение оператора на векторе

и явный вид константы нам не нужен. Поскольку то первое слагаемое при умножении на дает вектор, ортогональный и его можно отбросить. В результате

Следовательно,

Пользуясь тождествами 2 и 3°, приведенными в конце § 69, находим окончательно, что

Переходя к ортогональному базису имеем

Для вычисления коэффициента достаточно умножить на отношение где Согласно тождествам имеем

где штрих означает, что исключается сомножитель при и знак подбирается так, чтобы выражение справа было положительно. Ввиду сопряженности имеем также

т. е. оператор имеет отличными от нуля лишь коэффициенты

Отсюда с помощью перенормировки можем также вычислить действие в базисе Результатом является

Теорема 7. Инфинитезимальные операторы действуют в базисе по формулам

где означает добавление вектора с единицей на месте к строке схемы В ортонормальном базисе имеем

Во всех этих формулах штрих означает, что в произведении исключается нулевой сомножитель при фигурные скобки со знаком заменяют знак модуля.

Замечание. Обычно в литературе используются только формулы для операторов в ортонормальном базисе. Между тем мы видим, что в базисе эти формулы выглядят значительно проще.