§ 86. Разложения Фиттинга

В этом параграфе мы изложим один из общих методов изучения законов коммутации в произвольной алгебре Ли. Этот метод допускает формулировку как в комплексном, так и в вещественном случае. Однако ради простоты мы будем рассматривать только алгебры Ли над полем комплексных чисел.

Пусть а — линейный оператор в пространстве максимальное подпространство, натянутое на собственные и присоединенные векторы этого оператора

собственным значением X:

Тогда, как известно (из теории элементарных делителей), пространство может быть представлено в виде прямой суммы подпространств

где суммирование ведется лишь по конечному множеству чисел X, которые являются собственными значениями оператора а. Оказывается, что этот результат переносится также на нильпотентные алгебры линейных операторов в пространстве

Пусть X — линейная алгебра Ли, определенная в пространстве Функция называется собственным значением или весом алгебры X, если для некоторого вектора очевидно, является линейной формой от Пространство

называется весовым пространством алгебры X, отвечающим весу Иначе говоря, есть пересечение всёх собственных пространств определенных для отдельных операторов При этом мы считаем, что если X не является весом алгебры Докажем, что имеет место

Теорема 1. Если X — нильпотентная алгебра Ли, то пространство разлагается в прямую сумму

где суммирование ведется лишь по конечному множеству линейных форм которые являются весами алгебры

Доказательство. Используя индукцию по легко проверяем тождество

где справедливое для любых линейных операторов в пространстве (С — биномиальные коэффициенты). Если , то при достаточно большом значении Заменяя а на применяем обе части этого равенства к вектору Поскольку среди чисел хотя бы одно превосходит то при достаточно высоком мы получаем

Но это означает, что инвариантно относительно при любых

Пусть базис в алгебре Пространство есть прямая сумма подпространств где произвольное собственное значение оператора В свою очередь будучи инвариантно относительно есть прямая сумма подпространств весовых относительно Следовательно,

(прямая сумма), где каждое из слагаемых инвариантно относительно всей алгебры Поскольку алгебра X нильпотентна, то в силу теоремы Ли все матрицы х в подпространстве одновременно приводятся к треугольной форме. Отсюда ясно, что единственным собственным значением в этом подпространстве является линейная форма Теорема доказана.

Теперь предположим, что X — произвольная алгебра Ли и ее нильпотентная подалгебра. Применяя теорему 1 к линейной алгебре получаем разложение алгебры X в прямую сумму весовых подпространств:

где - произвольный вес, определенный на линейной алгебре Такие веса называются корнями, и пространство называется корневым подпространством в алгебре

Разложение называется разложением Фиттинга алгебры X (по отношению к нильпотентной подалгебре Мы исследуем в этом параграфе основные свойства такого разложения.

Для доказательства этого утверждения достаточно проверить (индукцией по справедливость следующего тождества:

где произвольное дифференцирование в алгебре Полагая, в частности, получаем в правой части нуль при достаточно высоком если

Эти равенства являются частным случаем 1°. Они показывают, что корневое пространство отвечающее корню 0, само является подалгеброй в алгебре X и каждое пространство инвариантно относительно

Действительно, если то имеет только нулевое собственное значение на ввиду нильпотентности Следовательно, . В частности, мы видим, что нуль всегда содержится среди корней алгебры X (это следует также из равенства

Для получения более дробного разложения в алгебре X естественно выбирать по возможности максимальной. Особенно интересен случай . В этом случае разложение Фиттинга называется регулярным.

Выясним, когда возможно регулярное разложение. Элемент назовем регулярным, если оператор к имеет минимально возможную кратность нулевого собственного значения в пространстве Очевидно, такие элементы всегда существуют. Пусть регулярный элемент и максимальная нильпотеитная

подалгебра, содержащая этот элемент. Условимся в этом случае говорить, что алгебра является регулярной.

Теорема 2. Если регулярная подалгебра, то разложение Фиттинга является регулярным.

Доказательство. Рассмотрим вначале разложение Фиттинга по отношению к единственному оператору где регулярный элемент:

Здесь X — прямая сумма подпространств с ненулевыми собственными значениями. Согласно свойству 2° полученное разложение инвариантно относительно всех операторов Положим и пусть детерминант преобразования х на подпространстве X:

Тогда -полином от поэтому при достаточно малых значениях Следовательно, в этом случае все нулевые собственные значения оператора к содержатся в подпространстве Поскольку их число не может быть меньше размерности (согласно определению регулярного элемента), то нульстепенное преобразование в Пусть

— характеристический детерминант оператора х в подпространстве Тогда является полиномом от и для достаточно малых значений Следовательно, это означает, что для любого преобразование х нульстепенно в Следовательно, нильпотентная подалгебра.

Далее, пусть максимальная нильпотентная подалгебра, содержащая Равенство (при достаточно большом означает, что Ввиду максимальности в классе нильпотентных подалгебр мы имеем Алгебра не может иметь нулевых корней в X (поскольку ), следовательно, подпространство совпадает также с нулевым

подпространством в разложении Фиттинга относительно Теорема доказана.

Следствие. В произвольной алгебре Ли существует регулярное разложение Фиттинга:

В дальнейшем мы будем рассматривать только такие разложения.

В заключение этого параграфа рассмотрим специальные элементы вида которые, как следует из регулярности, содержатся в алгебре Следовательно, для определено понятие корня Подпространство инвариантно относительно , а потому и относительно

Поскольку след коммутатора равен нулю, то мы получаем соотношение

Здесь размерность корневого подпространства отличная от нуля лишь для конечного числа значений и выражение слева, очевидно, равно для треугольной матрицы Поскольку то это уравнение можно разрешить относительно откуда получаем где рациональное число (зависящее от ). Суммируя по всем корням, мы получаем также равенство

с рациональным коэффициентом где Для каждого корня Если то существует хотя бы один корень X (например, для которого а также является корнем. Равенства приводят к противоречию, Следовательно, и отсюда при четном