§ 5. Аналог формулы Планшереля

Естественно предположить по аналогии с теорией Петера — Вейля, что элементарные представления должны играть роль элементарных гармоник» в гармоническом анализе функций на G. Принципиальный результат в этом направлении был получен Гельфандом и Наймарком [68], которые построили для классической группы G аналог -теории преобразований Фурье. Обобщение этих результатов на произвольную полупростую комплексную связную группу Ли было сделано в работе Хариш-Чандры [140].

Заметим прежде всего ([88]), что операторы ограничены относительно нормы в гильбертовом пространстве Следовательно, представление можно продолжить также до представления в гильбертовом пространстве где пополнение метрике Далее, для каждой сигнатуры положим Оказывается ([88]), что для каждой пары функций выполняется тождество

где скалярное произведение в (заметим, что сигнатура а имеет тот же индекс, что и а). В частности, если чисто мнимое число, то . В этом случае операторы унитарны. Пусть -множество всех таких сигнатур. Соответствующее семейство унитарных представлений называется основной серией. Именно с рассмотрения основной серии началось развитие теории бесконечномерных представлений группы G.

Перейдем теперь к рассмотрению функций на группе G. Если функция локально интегрируема относительно меры Хаара

и достаточно быстро убывает на бесконечности (например, финитна), то имеет смысл операторный интеграл

Здесь как и линейный оператор в гильбертовом пространстве Операторную функцию мы будем называть преобразованием Фурье функции Если функция финитна и бесконечно дифференцируема, то рассуждения, аналогичные проведенным в § 2, показывают, что матричные элементы оператора являются быстро убывающими в базисе Петера — Вейля. Это убывание является настолько быстрым, что имеет смысл выражение для следа где след выражается в виде абсолютно сходящегося ряда из диагональных матричных элементов. Оказывается, что (1) допускает формулу обращения, которая имеет вид

где звездочка означает эрмитово сопряжение и -некоторая мера на множестве сигнатур называемая мерой Планшереля. Таким образом, формула обращения содержит только представления основной серии. Для описания меры положим Интеграл по мере означает суммирование по индексу и интегрирование по чисто мнимым значениям с плотностью

где произвольный положительный корень и полусумма всех таких корней (константа не зависит от сигнатуры а).

Положим, в частности, в формуле и заменим в полученном интеграле функцию сверткой вида Нетрудно проверить, что заменяется при этом на где -преобразование Фурье функции В результате имеем

В частности, при получаем выражение для квадрата нормы функции в пространстве через интеграл по от следа с мерой Полученная формула имеет смысл уже для произвольных функций из Эта формула является аналогом классической формулы Планшереля из гармонического анализа на прямой.

Заметим теперь, что согласно результатам § 4 элементарные представления основной серии неприводимы. Формула (2) может быть интерпретирована как разложение регулярного представления в на неприводимые унитарные представления.