§ 13. Вопросы комплексификации

Группа Ли называется комплексной, если она допускает комплексную параметризацию, относительно которой закон умножения задается голоморфными (комплексно-аналитическими) функциями. Как следует из этого определения, если комплексная группа Ли, то ее алгебра Ли допускает комплексную структуру, т. е. является алгеброй Ли над полем комплексных чисел. Комплексная структура сообщает алгебре Ли специфические свойства, обусловленные, как правило, тем обстоятельством, что над комплексным полем всякое линейное преобразование обладает собственным вектором.

Если X — комплексная алгебра Ли, то иногда в ней удается выделить вещественную подалгебру X, имеющую те же структурные константы, что и Очевидно, это возможно тогда и только тогда, когда структурные константы алгебры X в некотором базисе вещественны.

В этом случае имеем

и вещественная размерность алгебры X совпадает с комплексной размерностью алгебры В этом случае говорят, что X является вещественной формой алгебры X, а комплексной оболочкой алгебры Если комплексная группа Ли с вещественной подгруппой то G называется вещественной формой при условии, что алгебра Ли подгруппы G является вещественной формой в алгебре Ли группы

В последнем случае также говорят, что группа является комплексной оболочкой или комплексификацией группы G. Поскольку всякая вещественная алгебра Ли допускает комплексную оболочку и поскольку всякой алгебре Ли соответствует хотя бы одна группа Ли, то можно предположить, что и всякая вещественная группа Ли допускает комплексификацию. Однако в действительности это не так. Противоречащий пример будет указан в конце § 104. Тем не менее в данной книге указанная гипотеза будет проверена для класса компактных групп Ли, которые являются основным объектом изучения этой книги.

Поскольку комплексная алгебра Ли может допускать вещественные структурные константы в различных базисах, то комплексная группа Ли может иметь несколько, вообще говоря, неизоморфных вещественных форм. Простейшие примеры мы рассмотрим в этом параграфе.

Пример 1. Мультипликативная группа комплексных чисел является комплексной оболочкой мультипликативной группы вещественных чисел и в то же время комплексной оболочкой группы чисел по модулю равных единице.

Пример 2. Группа является комплексной оболочкой группы и в то же время комплексной оболочкой группы (Достаточно проверить, что алгебра X антиэрмитовых матриц имеет размерность где X — алгебра всех комплексных матриц порядка

Пример 3. Группа является также комплексной оболочкой групп

Пример 4. Группы являются соответственно комплексными оболочками Они являются также комплексными оболочками

Пример 5. Группа является комплексной оболочкой и также комплексной оболочкой В частности, является комплексной оболочкой группы

Пример 6. Группа является комплексной оболочкой

Замечание. Подчеркнем, что группы не являются комплексными группами Ли, хотя их определение и дается над полем комплексных чисел. Например, алгебра и состоит из всех матриц а, для которых Это свойство нарушается при умножении матрицы а на произвольный комплексный множитель. Следовательно, и не является комплексной алгеброй Ли. В качестве другого объяснения можно заметить, что закон умножения в не задается голоморфными функциями, ибо эти функции зависят не только от комплексных параметров в но и от их комплексно сопряженных.

В дальнейшем мы увидим, что соотношения между вещественными и комплексными группами Ли играют существенную роль в общей теории.