§ 17. Редукция основной проблемы

Поскольку правые (и левые) трансляции в группе действуют транзитивно, группа G как множество сама является однородным пространством. Нашей ближайшей целью является показать, что это пространство является в известном смысле универсальным в классе всех однородных пространств с группой движений G.

Идея доказательства основана на свойстве транзитивности однородного пространства Действительно, всякая фиксированная точка может быть переведена в любую другую точку путем хотя бы одного преобразования Следовательно, запас элементов в группе G в известном смысле больше запаса точек в пространстве Для более точного построения естественно поступить следующим образом.

Пусть — совокупность всех преобразований, оставляющих точку на месте; тогда, очевидно, Я является подгруппой; такая подгруппа называется стационарной подгруппой точки

Рассмотрим теперь произвольный класс смежности где произвольный элемент из G. Нетрудно видеть, что все преобразования этого класса переводят точку в одну и ту же точку Более того, используя стандартные рассуждения, неоднократно применявшиеся выше, легко получаем, что множество содержит все преобразования, обладающие указанным свойством. Следовательно, множество X находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех левых классов смежности, которое, как и в § 12, обозначим

Перейдем к рассмотрению функций Заметим вначале, что всякая функция на постоянная на каждом листе может рассматриваться как функция на Обратно, всякую функцию на X мы можем рассматривать как функцию на постоянную на левых классах смежности по .

Выясним закон преобразования пространства X в терминах Если множество переводит то множество переводит в точку Отсюда очевидно, что в терминах мы получаем правые сдвиги В результате приходим к рассмотрению операторов

Представление называется правым регулярным представлением группы G. Более точное его определение зависит от указания класса функций, в котором действуют операторы В частности, можно говорить о всех, о всех непрерывных, о всех дифференцируемых и т. д. функциях на G.

Представление мы условимся называть квазирегулярным представлением на однородном пространстве Результаты нашего исследования можно выразить следующей теоремой.

Теорема 2. Всякое квазирегулярное представление вкладывается в регулярное представление группы G. При этом однородное пространство X отождествляется с где стационарная подгруппа произвольной точки

Замечание. Если вместо точки рассматривать точку то подгруппа заменяется подгруппой Отсюда следует, что все стационарные подгруппы сопряжены между собой относительно внутренних автоморфизмов. Если вместо записи рассматривать запись то мы получаем вложение в левое регулярное представление группы G.

Примеры. 1. Пусть -мерная строка, умножаемая справа на матрицу Фиксируя в переменной матрице какую-либо строку, мы можем рассматривать ее вместо вектора х. Очевидно, преобразование заменяется преобразованием

Вместо функций можно рассматривать функции зависящие только от параметров выделенной строки.

2. Пусть n-мерная строка в евклиг довом пространстве Желая получить однородное пространство, мы ограничиваемся в рассмотрением единичной сферы Если пробегает то, рассуждая, как в § 12, получаем, что эквивалентно где изоморфно

3. Проиллюстрируем несколько иначе результат предыдущего примера для случая Используя углы Эйлера, запишем произвольную матрицу из в виде где повороты вокруг оси поворот вокруг оси Пусть северный полюс; тогда подгруппа состоит из поворотов вокруг оси Записывая вращение в виде мы обнаруживаем, что Параметры можно рассматривать как параметры на сфере (широта и долгота).

В заключение заметим, что левое регулярное представление необходимо записывать в виде только при таком определении отображение является гомоморфизмом. Подстановка в классе функций осуществляет, как легко проверить, эквивалентность

Упражнения

(см. скан)