§ 40. О некоторых проблемах инфинитезимального метода

Желая исследовать структуру группы Ли или свойства ее линейных представлений при помощи инфинитезимального метода, мы должны постоянно иметь в виду некоторые сложности, связанные с процессом «интегрирования», т. е. с переходом от алгебры Ли к группе Ли.

Прежде всего, естественно возникают следующие вопросы:

Вопрос 1. Пусть группа Ли и X — ее алгебра Ли. Верно ли, что всякому линейному представлению алгебры X соответствует линейное представление группы G (по отношению к которому данное представление является дифференциалом)?

Вопрос 2. Пусть группа Ли и X — ее алгебра Ли. Верно ли, что всякой подалгебре соответствует замкнутая подгруппа (имеющая своей алгеброй

Ответ на первый вопрос является отрицательным, даже если группа G является связной и представление конечномерно. Действительно, операторная функция определяется посредством экспоненциального отображения лишь на некоторой окрестности единицы в группе G. Используя трансляции, можно продолжить и на всю группу но полученная функция может оказаться неоднозначной. (Пример: если то представление может быть продолжено на группу G только при целом . Однако если G односвязна, то функция не может быть многозначной. Действительно, в противном случае многообразие накрывало бы группу G. Следовательно, в этом случае первый вопрос решается положительно.

В дальнейшем мы для краткости условимся считать, что термин «односвязность» включает в себя также и предположение о связности. В частности, под термином «односвязная группа» условимся понимать односвязную связную группу.

Ответ на второй вопрос также является отрицательным, как показывает иррациональная обмотка тора. Действительно, пусть двумерный тор, порожденный

всеми унитарными диагональными матрицами второго порядка. Положим

где отношение иррационально и числа вещественны. Поскольку матрица эрмитова, то матрица унитарна при всяком Однопараметрическая подгруппа

является иррациональной обмоткой тора G (§ 15). Замыкание этой подгруппы совпадает со всем тором G. В этом случае одномерной подалгебре не соответствует замкнутая однопараметрическая подгруппа в группе G.

В дальнейшел! мы увидим тем не менее, что во многих важных случаях ответ на второй вопрос все-таки является положительным. Один из указанных частных случаев описывается следующей теоремой:

Теорема 5. Пусть компактная группа Ли и X — ее алгебра Ли. Тогда для всякой подалгебры с нулевым центром существует замкнутая подгруппа для которой является алгеброй Ли.

Доказательство. Нам будет удобно использовать линейность группы G. Более того, согласно глобальной теореме можно считать, что Поскольку в условиях теоремы группа G играет роль объемлющей группы, мы можем также считать (хотя это и не обязательно), что Все построения ведутся над полем вещественных чисел. Алгебра X состоит в этом случае из всех вещественных кососимметрических матриц порядка

Пусть фиксированная подалгебра в Мы получим «первое приближение» к искомой группе если рассмотрим в подгруппу состоящую из всех матриц для которых Согласно этому определению группа выделяется из некоторой системой полиномиальных соотношений; как увидим

в гл. XV (теорема 4), всякая такая группа является группой Ли. Пусть алгебра Ли группы Тогда, очевидно,

Нетрудно видеть, что билинейная форма является скалярным произведением в области кососимметрических матриц (т. е. в алгебре Ли Пусть У— ортогональное дополнение до относительно этого скалярного произведения. Заметим, что

В частности, если то мы заключаем, что правая часть тождественно равна нулю Следовательно, вектор одновременно содержится в и ортогонален Следовательно, и мы заключаем, что элементы из взаимно перестановочны.

Далее, мы получим «второе приближение» к искомой группе если рассмотрим в подгруппу состоящую из матриц перестановочных с алгеброй Для всякого Рассуждая, как и выше, заключаем, что группа Ли. Пусть ее алгебра Ли. Тогда, очевидно, Пусть ортогональное дополнение до

Элементы множества Z перестановочны со всеми элементами и в то же время со всеми элементами У (согласно определению Следовательно, Z содержится в центре В то же время согласно условиям теоремы центр подалгебры равен (0). Отсюда следует, что Z является центром в В свою очередь может быть охарактеризована как фактор-алгебра либо как производная подалгебра в алгебре

Теперь естественно определить искомую группу как производную подгруппу в группе При этом группа оказывается группой Ли с алгеброй Ли Теорема доказана.

Замечание. При доказательстве теоремы 5 мы считали очевидным следующее утверждение: пусть две группы Ли и соответствующие алгебры Ли; тогда для

всякого Действительно, это утверждение доказывается в общей теории групп Ли и составляет один из существенных моментов в соответствии между группами и алгебрами Ли. Приведем для полноты изложения доказательство этого утверждения в линейном случае

Напомним, что алгебра определяется как касательное пространство к многообразию в точке Если то является касательным пространством к многообразию в точке Иначе говоря, если локальные параметры точки (достаточно близкой к ), то

для всякого где функции непрерывно зависят от Заметим теперь, что однопараметрическая подгруппа является решением дифференциального уравнения

с начальным условием Если функции определить как решения дифференциального уравнения с начальным условием то функция будет решением указанного выше уравнения (при достаточно малых с начальным условием В силу теоремы единственности Это показывает, что при достаточно малых.

Далее, пусть точная верхняя грань тех I, для которых Положим Тогда полученная функция является решением дифференциального уравнения

с начальным условием Повторяя предыдущие рассуждения, заключаем, что при достаточно малых Но это противоречит определению Следовательно, при — и наше утверждение доказано.

Отсюда также легко получить, что если подалгебра в замкнутая связная подгруппа в G с алгеброй Ли то в действительности (это утверждение мы также считали очевидным при доказательстве теоремы 5, полагая

В теории групп Ли доказывается следующая общая теорема. Пусть группа Ли и X — ее алгебра Ли. Тогда для каждой подалгебры существует локально замкнутая подгруппа называемая аналитической подгруппой. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между подалгебрами в алгебре Ли и аналитическими подгруппами в группе G.

Если ограничиться некоторой достаточно малой окрестностью единичной точки, то мы получаем множество, называемое локальной группой Ли. Это множество однозначно покрывается экспоненциальным отображением, и в нем существует также взаимно однозначное соответствие между подалгебрами Ли и локальными подгруппами. Отметим еще один важный вопрос:

Вопрос 3. Пусть группа Ли и X — ее алгебра Ли. Верно ли, что каждому разложению где подалгебры, отвечает разложение где соответствующие аналитические подгруппы?

Если заменить группу G локальной группой Ли, то ответ является положительным (см., например, [46], т. III, стр. 180). Глобальное утверждение также имеет место для некоторых частных случаев: а) группа G односвязна, инвариантно в G относительно внутренних автоморфизмов; б) группа является максимальной компактной подгруппой в и подгруппа односвязна. См. по этому поводу, например, [108], [128]. Некоторые случаи таких разложений мы будем рассматривать далее Там же будет рассмотрен пример разложения («разложения Гаусса»), когда множество не заполняет группы но всюду плотно в G.

Хотя, как мы видим, ответ на последний вопрос является отрицательным, существует несколько более слабая положительная формулировка. Напомним (§ 3), что если группа G является связной, то всякая окрестность единицы определяет в этой группе систему образующих. Следовательно, если такая окрестность, то G является объединением возрастающего семейства окрестностей Если где локальные группы в то мы находим в результате, что всякий элемент может быть представлен в виде конечного произведения где

В заключение вернемся к вопросу 1 в связи с теорией бесконечномерных представлений. В этом случае проблема является еще более сложной, хотя бы потому, что не всегда существует. Более того, если даже

представление определено, то оно не обязательно аналитично. В частности, если то не обязательно

Каждый вектор Для которого вектор-функция аналитична, называется аналитическим. Если V - банахово пространство, то множество всех аналитических векторов всюду плотно в классе аналитических векторов соответствие между представлением и его дифференциалом взаимно однозначно. В общем случае мы не можем даже утверждать, что из неприводимости следует неприводимость (и также что из приводимости следует приводимость Действительно, возможно существование линейных многообразий, инвариантных относительно замыкание которых не инвариантно относительно ([98]).

Вместе с тем мы видим, что если ограничиться конечномерными представлениями и односвязными группами Ли, то применение инфинитезимального метода не вызывает препятствий. Рассмотрение неодносвязной группы также не вызывает особых сложностей ввиду наличия универсальной накрывающей.

В первоначальных работах С. Ли рассматривались только локальные группы Ли, причем, как правило, группы дифференцируемых преобразований в евклидовых пространствах. Глобальная теория разработана значительно позже (см. по этому поводу, например, [38], [46], [128]). К локальным методам естественно приводит рассмотрение многих вопросов классической и квантовой механики. Как уже было сказано во введении к этой главе, мы рассматриваем здесь лишь простейшие вопросы инфинитезимального метода.

Задача описания неприводимых представлений группы дает классический пример для иллюстрации инфинитезимального метода. Глобальное решение этой задачи изложено в статье [84]. В этой же статье был предложен простой вывод формулы для матричных элементов (теорема 4). По поводу иной методики см. также значительно более подробное изложение в статье [71]. См. также [18], [37], [66] и монографию [14], где дается значительно более общая теория специальных функций.