ГЛАВА VI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ

Идея аналитического продолжения, столь плодотворная в общей теории функций комплексного переменного, играет принципиальную роль также и в общей теории представлений. Этот метод в теорию представлений был впервые введен в работах Вейля. В частности, он оказывается особенно эффективным при рассмотрении компактной группы Ли и ее комплексной оболочки.

Если компактная группа Ли ненулевой размерности, то ее комплексная оболочка всегда является некомпактной. Этот результат, который мы в дальнейшем сумеем строго доказать, является следствием того простого замечания, что вместе с каждым «тригонометрическим поворотом» комплексная оболочка содержит также и некоторый «гиперболический поворот». Следовательно, в наше рассмотрение включается существенно новый класс некомпактных групп Ли, которые в этой главе будут названы «надкомпактными».

Заметим, что метод аналитического продолжения можно развивать локально и «в целом»; первый путь, по существу, уже использовался нами при введении «понижающих» и «повышающих» операторов для . В этой главе мы изложим основы аналитического метода «в целом».

§ 41. Общий принцип аналитического продолжения

Метод аналитического продолжения состоит в продолжении операторной функции представление группы на комплексные значения параметров группы, т. е. на комплексную оболочку группы G. Разумеется, при этом мы полагаем, что группа Ли и ее вещественно-аналитическое представление, которое задается локальными рядами Тейлора в окрестности каждой точки Прежде чем перейти к более точным

определениям, мы рассмотрим следующие простые примеры.

Пример 1. Комплексная плоскость с выколотой точкой является комплексной оболочкой группы чисел Всякое неприводимое представление целое) однозначно продолжается до представления где произвольный элемент комплексной оболочки.

Пример 2. Та же комплексная плоскость является комплексной оболочкой связной группы положительных чисел Всякое неприводимое представление (к комплексное) продолжается до функции которую можно рассматривать как «многозначное представление» комплексной оболочки. Эта функция однозначна только при целом k.

Пример 3. Та же комплексная плоскость является комплексной оболочкой несвязной группы всех вещественных чисел Существуют представления этой группы, например которые не продолжаются до аналитических функций на комплексной оболочке. (Действительно, если аналитическая функция равна единице при то она тождественно равна единице.)

Анализ этих примеров показывает, что при формулировке метода аналитического продолжения приходится соблюдать известные предосторожности. Прежде всего, согласно примеру 3 естественно требовать, чтобы различные связные листы исходной вещественной группы G оставались изолированными друг от друга также и в комплексной оболочке. (В противном случае локальные ряды Тейлора, определенные на этих листах, могут привести к различным аналитическим функциям.) В результате мы приходим к следующему определению:

Определение 1. Комплексную группу мы будем называть правильной комплексной оболочкой вещественной группы если является комплексной оболочкой G и если в каждой связной компоненте содержится лишь одна связная компонента группы G.

В частности, если является связной, то и подгруппа G согласно этому определению должна быть связной. Таким образом, группа комплексных чисел по умножению является правильной комплексной оболочкой группы положительных чисел по умножению, но это уже

неверно, если вместо последней группы рассматривать группу всех вещественных чисел по умножению. Далее, согласно примеру 2 естественно также обобщить само понятие представления.

Определение 2. Пусть комплексная группа Ли. Операторная функция будет называться аналитическим представлением группы если:

1) функция является комплексно-аналитической (возможно, многозначной) функцией на

2) для каждой пары значений найдется такое значение что

3) всякое значение Те обратимо, и одним из значений Те является единичный оператор в пространстве представления.

Аналогичное определение с заменой условия аналитичности условием вещественной аналитичности (или непрерывности) приводит также к понятию многозначного представления произвольной вещественной группы Ли. Если представление конечномерно, то условие аналитичности функции равносильно условию аналитичности всех матричных элементов (относительно любого фиксированного базиса в пространстве представления) Если представление бесконечномерно, то необходимо указывать топологию в классе операторов, по отношению к которой вводится понятие аналитичности. Мы, однако, будем рассматривать, как правило, только конечномерные представления.

Пример 4. Матричная функция

является аналитическим (счетнозначным) представлением мультипликативной группы комплексных чисел.

Прежде чем перейти к изложению общей теории, сделаем несколько простых замечаний.

Замечание 1. Поскольку аналитические функции всегда являются комплекснознячными (за исключением тривиального случая то процесс аналитического продолжения может привести к окомплексиванию пространства представления. Чтобы не заботиться об

этом, мы условимся пространство V заранее предполагать комплексным. (Если исходное пространство было вещественным, то всякий линейный оператор и в том числе переносится на по правилу линейности:

Замечание 2. Если комплексная группа является односвязной, то ее аналитическое представление не может быть многозначным. Это утверждение является следствием известного принципа «монодромии» и может быть легко доказано посредством «триангуляции» многообразия (Напомним, что согласно условию, принятому в предыдущей главе, под термином «односвязность» подразумевается также и связность.) Следовательно, в этом случае аналитические представления группы являются также ее представлениями в обычном смысле. Это замечание мы будем иногда использовать в дальнейшем.

Замечание 3. Пусть аналитическое представление группы множество значений функции в точке Тогда очевидно, что множество Те является группой. Согласно известным свойствам аналитических функций все они не более чем счетнозначны. В частности, Те является дискретной группой. Далее,

т. е. множество получается из группы путем умножения (слева или справа) на одно из значений в точке Следовательно, Те является инвариантной подгруппой относительно отображения Если группа G является связной, то отсюда, как и в § 5, легко получаем, что множество Те содержится в центре представления Следовательно,

для каждой пары индивидуальных значений Если представление неприводимо, то отсюда согласно лемме Шура следует скалярность операторов Те. Заметим, что в этом случае закон композиции в представлении Те может быть записан следующим образом:

где один из возможных скаляров, к которым

сводится оператор . Такие представления иногда называют проективными. Множество представляет собой дискретную абелеву группу комплексных чисел. В частности, если конечнозначно, то множество конечно и сводится к прямому произведению некоторого числа циклических групп.

Заметим также, что множество Те всегда определяет степень многозначности данного представления (согласно формуле отмеченной выше). В частности, однозначно тогда и только тогда, когда множество Те состоит из оператора

После этих предварительных замечаний сформулируем и докажем следующий общий результат:

Теорема 1. Пусть правильная комплексная оболочка вещественной группы G. Тогда всякое конечномерное представление группы G может быть продолжено до аналитического (вообще говоря, многозначного) представления группы

Продолженное представление неприводимо, приводимо или вполне приводимо тогда и только тогда, когда соответствующим свойством обладает исходное представление группы G.

Если группа односвязна, то продолженное представление однозначно.

Доказательство. Пусть представление группы G и тот же символ означает аналитическое продолжение этой функции на комплексные значения параметров в группе Существование такого продолжения следует из вещественной аналитичности функции Прежде всего, локальный ряд Тейлора продолжается на некоторую окрестность (параметры полагаются комплексными). Далее, поскольку степени окрестности покрывают всю группу то ясно, что функция продолжается на всю группу т. е. ни одна из точек не является особой. Мультипликативное свойство функции вытекает из принципа сохранения алгебраических соотношений (при аналитическом продолжении). Таким образом, первая часть теоремы доказана.

Далее заметим, что свойства приводимости и полной приводимости могут быть выражены в терминах обращения в нуль некоторых матричных элементов соответствующем выборе базиса). Если такой элемент обращается в нуль на то он, в частности, равен нулю и на G. Обратно, в силу принципа единственности аналитического продолжения, если этот элемент равняется нулю на то он обращается в нуль также и на всей группе Тем самым наше утверждение доказано для свойства приводимости и полной приводимости, но тогда и для свойства неприводимости (как отрицания приводимости).

Наконец, если односвязна, то согласно замечанию 2 («принцип монодромии») представление должно быть однозначным.

Теорема доказана.

Мы условимся называть теорему 1 общим принципом аналитического продолжения. Разумеется, это название условно, хотя бы потому, что в условиях теоремы 1 рассматриваются только конечномерные представления. Однако нетрудно обобщить эту теорему на случай, когда представление бесконечномерно и вещественно-аналитично. Отметим два очевидных следствия из этой теоремы:

Следствие 1. Существует взаимно однозначное соответствие (определяемое сужением между неприводимыми аналитическимипредставлениями группы и неприводимыми, вообще говоря, многозначными представлениями группы G.

Следствие 2. Спектральный анализ в классе вполне приводимых представлений группы G расносилен спектральному анализу в классе их аналитических продолжений.

В заключение заметим, что если группу рассматривать как вещественную, то ее комплексно-аналитические представления далеко не исчерпывают всех вещественных представлений группы

Пример 5. Всякое неприводимое конечномерное представление группы комплексных чисел по умножению одномерно и задается формулой

где разность является целой (условие однозначности представления). Это представление аналитично только при

Другие примеры мы видели в § 39 при рассмотрении групп Более подробно о вещественных представлениях комплексной группы будет сказано в § 43.

Таким образом, мы видим, что аналитическое продолжение естественно приводит нас к изучению определенного класса многозначных представлений комплексной группы

Упражнение

(см. скан)