§ 73. Примитивные характеры U(n)

Характеры неприводимых представлений принято иногда называть примитивными характерами. В этом параграфе мы найдем примитивные характеры группы

Для решения этой задачи достаточно использовать соотношения ортогональности для примитивных характеров, даваемые глобальной теоремой:

Здесь характер неприводимого представления символ Кронекера для пары сигнатур Поскольку подынтегральная функция есть функция классов, мы можем использовать для нее полученную в предыдущем параграфе формулу интегрирования. В результате получаем

где нормирующий множитель, равный и где положено

Для нас существенно, что функция является полиномом от (как сумма весов), кроме того, полином симметричен относительно всех подстановок (как функция классов). В то же время функция является антисимметрическим полиномом.

Следовательно, и является антисимметрическим полиномом от

Расположим все одночлены, входящие в полином в лексикографическом порядке и заметим, что где А — оператор антисимметризации. Следовательно, разлагается в сумму однородных антисимметрических слагаемых вида

где сумма берется по группе подстановок (над элементами и знак выбирается в зависимости от четности или нечетности подстановки. При этом слагаемое входит с целой кратностью Действительно, и А имеют только целые коэффициенты; следовательно, то же верно и для функции Интегрируя по группе получаем, что функции удовлетворяют следующим соотношениям ортогональности:

где символ Кронекера для символов Заметим, что, в частности, является антисимметрической суммой вида где ). Следовательно,

Далее, записывая функцию в виде и используя соотношения ортогональности, находим (сокращая на что

Поскольку числа являются целыми, это возможно лишь в том случае, когда все они равны нулю, за исключением одного, который равен ±1.

Пусть старший член характера где параметры сигнатуры а. Тогда старшим членом является положено

Поскольку этот старший член входит с положительным коэффициентом, мы заключаем, что и окончательно

В результате получена следующая

Теорема 1. Всякий примитивный характер группы имеет вид

где антисимметрический полином от который может быть записан в виде детерминанта:

соответствует сигнатуре его Параметры связаны с параметрами сигнатуры а соотношениями

собственные значения матрицы и

Замечание. При доказательстве теоремы 1 мы не пользовались классификацией, изложенной в гл. VII. Более того, теорема 1 сама может быть использована для классификации неприводимых представлений группы Действительно, формула показывает, что функция содержит старший вес

с кратностью 1. При этом и мы снова приходим к понятию сигнатуры. Поскольку в

силу глобальной теоремы различным представлениям должны отвечать линейно независимые характеры, мы получаем, что сигнатура определяет представления с точностью до эквивалентности.

Все изложенное построение принадлежит Г. Вейлю [10]. Формулу мы будем называть первой формулой Вейля для характеров.

В заключение заметим, что значение характера позволяет также вычислить размерность представления Подстановка в первую формулу Вейля приводит к неопределенности для раскрытия которой удобно положить При этом числитель превращается в определитель Вандермонда чисел который, как известно, равен произведению разностей Устремляя к нулю, замечаем, что В результате

Действительно, выражение в знаменателе есть произведение разностей где

Полученная формула является одним из наиболее важных следствий теории характеров. Действительно, знание размерности обычно существенно для приложений.