§ 113. Симплектическая группа

Рассмотрение классических групп можно было бы провести независимо от изложенной выше общей теории ([84]). Тем не менее эта теория дает нам универсальный подход и универсальную терминологию (корни, их метрические свойства и т. д.), что позволяет рассматривать все частные случаи с единой точки зрения. Мы начнем рассмотрения с симплектической группы которая устроена несколько проще, чем ортогональная n-мерная группа. Положим

Напомним, что группа состоит из всех линейных преобразований комплексного векторного пространства размерности сохраняющих кососимметрическую форму [х, у]. Условие принадлежности матрицы группе записывается в виде где а — матрица формы [х, у]:

Отсюда, в частности, следует, что матрица имеет детерминант, равный ±1; в действительности можно показать, что этот детерминант равен В частности, группа изоморфна Группа связна и односвязна. Ранг этой группы равен и схема Дынкина имеет вид

Покажем, что при указанном выше определении фундаментальной формы [х, у] (т. е. при определенном

выборе базиса в -мерном пространстве) разложение Гаусса в индуцирует разложение Гаусса в группе G. Действительно, пусть Записывая матрицу в блочной форме находим, что

где штрих означает транспонирование. Отсюда следует, что преобразование сводится к транспонированию по отношению ко второй диагонали с изменением знака некоторых матричных элементов. Очевидно, такое преобразование сохраняет подгруппы Отсюда легко заключить, что разложение Гаусса элементов происходит внутри G. В результате

где пересечения группы G с подгруппами (и черта означает замыкание). Действительно, множество содержит окрестность единичной точки в группе и отсюда следует, что множество «сингулярных» элементов является подмногообразием меньшей размерности в G. Следовательно, всюду плотно в G.

С другой стороны, заметим, что группа G содержит подгруппу изоморфную Эта подгруппа состоит из всех диагонально-блочных матриц в Согласно условию мы находим при этом, что где тильда для блоков порядка означает преобразование Следовательно, общий вид матрицы есть

Отсюда, в частности, следует, что группа состоит из всех диагональных матриц Заменяя в этом случае произвольную матрицу а диагональной матрицей

замечаем, что Следовательно, если расположить в нормальном порядке собственные значения матрицы то всякие два числа, симметрично расположенные относительно центра, являются взаимно обратными. Параметры являются независимыми мультипликативными параметрами в картановской подгруппе

Условимся рассматривать только комплексно-аналитические представления группы G. Записывая характер группы в виде выясним условия индуктивности этого характера. Очевидно, разложение Гаусса в группе G индуцирует разложение Гаусса в подгруппе Следовательно, характер должен быть индуктивен также при сужении на Это немедленно приводит к ограничениям

на параметры сигнатуры Кроме того, в группе G содержится подгруппа преобразования которой сохраняют все базисные векторы, кроме и сводятся к произвольным унимодулярным преобразованиям координат Из индуктивности характера по отношению к вытекает еще одно ограничение: При этом все параметры очевидно, должны быть целыми. Переписывая характер в виде где мы находим, что указанные выше условия являются не только необходимыми, но и достаточными. Действительно, при выполнении этих условий все разности являются целыми неотрицательными и характер однозначно продолжается до функции аналитической на всей группе

Здесь -главный диагональный минор матрицы составленный из первых строк и первых столбцов. При этом, как нетрудно видеть, действительно выполняются условия В результате

получаем полную классификацию неприводимых представлений группы

Теорема 6. Всякое неприводимое аналитическое представление группы однозначно определяется (с точностью до эквивалентности) сигнатурой с целочисленными параметрами для которых

Производящая функция этого представления определяется формулой Реализация на группе Z определяется стандартной формулой, и индикаторная система имеет вид

где При этом оператор является аналитическим оператором левого сдвига на группе Z, порожденным однопараметрической подгруппой

где обычная «матричная единица» и дополнительный индекс

В этой теореме остается пока недоказанным лишь последнее утверждение. Для доказательства достаточно найти простые корни и соответствующие корневые векторы (см. § 93). Однако гораздо проще убедиться в том, что векторы являются образующими в алгебре Ли группы и операторы удовлетворяют следующим соотношениям:

Отсюда следует также, что функция содержится в пространстве решений соответствующей индикаторной

системы. Повторяя стандартные рассуждения (§ 49), связанные с конечномерностью и инвариантностью пространства решений, заключаем, что это пространство совпадает с пространством канонической модели. Заметим также, что откуда

Ввиду практической важности индикаторной системы мы приведем выражения операторов в двух различных системах параметров на группе Z (такие системы представляются на первый взгляд наиболее естественными). Операторы мы будем называть главными сдвигами на группе Z.

Первый способ параметризации. Заметим, что группа содержит нормально вложенную подгруппу, изоморфную Эта подгруппа выделяется условием сохранения координат Остальные координаты подвергаются произвольному симплектическому преобразованию на частности, группа Z содержит подгруппу состоящую из матриц

где треугольная матрица (с единицами на главной диагонали) из другой стороны, рассмотрим в группе Z подгруппу Z, состоящую из матриц вида

где единичная матрица порядка произвольная строка из чисел произвольное число и линейно выражается через столбец, состоящий из чисел в порядке нумерации сверху вниз). Перемножая

получаем матрицу

Нетрудно видеть, что таким образом может быть однозначно представлена произвольная матрица Следовательно, и параметры матрицы х составляют систему параметров в группе Z. Рассуждая индуктивно, получаем, что в качестве независимых параметров можно выбрать следующие элементы матрицы

Здесь единицы (диагональные элементы матрицы поставлены для сохранения симметрии в таблице параметров (параметры расположены на второй диагонали матрицы ). Все остальные элементы матрицы могут быть записаны в виде полиномов от этих независимых переменных. Вычисляя в этих переменных инфинитезимальные операторы левого сдвига находим, что они имеют вид

При этом, как видим, коэффициентами этих линейных дифференциальных операторов являются независимые

переменные за исключением Все такие элементы непосредственно примыкают снизу ко второй диагонали. Пусть означает такой элемент, расположенный в строке. Повторяя разложение легко определяем отсюда, рассуждая индуктивно, находим, что

Здесь означает строку в таблице независимых параметров, дополненную с двух сторон нулями, и скобка [х, у] означает фундаментальную билинейную форму для группы . В частном случае мы имеем

Второй способ параметризации (бинарное разложение). Рассмотрим в группе G подгруппы составленные из блочных матриц следующего вида:

Из условия принадлежности к группе заключаем, что , у — произвольные квадратные матрицы симметричные относительно второй диагонали. Нетрудно видеть (исходя, например, из разложения Гаусса), что всякая матрица которой однозначно записывается в виде

Полученное разложение мы будем называть бинарным (ввиду разбиения матриц на блоки порядка . В частности, каждая матрица из Z однозначно записывается в виде

Вычислим главные сдвиги в параметрах х, у. Нетрудно видеть, что первые из этих сдвигов в точности совпадают с главными сдвигами на треугольной подгруппе

где означает строку в треугольной матрице Следовательно, явный вид таких операторов значительно упрощается.

Для вычисления оператора заметим вначале, что где содержится в вместе с Отсюда вытекает, что параметры х остаются неизменными, в то время как матрица у заменяется матрицей

где положено для краткости а Следовательно, оператор имеет вид

где сумма берется только по тем элементам матрицы у (симметричной относительно второй диагонали), которые мы считаем независимыми. Очевидно также, что являются минорами матрицы х. В частном случае имеем

Заметим, что бинарное разложение позволяет чрезвычайно просто реализовать неприводимое представление в классе вектор-функций на подгруппе Действительно, согласно теореме 2 представление индуцируется одноименным представлением подгруппы Для получения явной формулы достаточно найти явный вид бинарного преобразования матрицы В результате несложных преобразований получаем

Здесь, как и выше, матрица считается записанной через блоки матрица у симметрична относительно второй диагонали, вектор-функция от у и оператор есть оператор неприводимого представления группы с сигнатурой Таким образом, реализуется с помощью матричной «дробно-линейной подстановки».

В заключение заметим, что все неприводимые представления оказались однозначными на G. Отсюда следует, что G односвязна. Действительно, если односвязная накрывающая группа то точное линейное представление группы (которое существует согласно теореме 12 гл. XV) было бы неоднозначным на G.