ГЛАВА XIII. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ АЛГЕБР И ГРУПП ЛИ

От рассмотрения группы мы переходим теперь к произвольным компактным группам Ли. Однако прежде чем сделать это, займемся в данной главе еще более общим вопросом. Постараемся уяснить местоположение компактных групп среди произвольных групп Ли. С этой целью мы займемся вначале инфинитезимальной характеристикой, т. е. рассмотрением произвольных алгебр Ли.

Ключом к первоначальной классификации является рассмотрение присоединенного представления, с которым мы уже встречались в гл. IX. Напомним, что алгебра Ли есть касательное пространство к группе G в единичной точке Внутренний автоморфизм переводит всякую однопараметрическую подгруппу в новую однопараметрическую подгруппу Соответствующее преобразование касательных векторов есть линейное представление группы действующее в алгебре Ли этой группы. Такое представление называется присоединенным.

При рассмотрении алгебр Ли достаточно рассматривать дифференциал такого представления, т. е. представление алгебры Ли, действующее в самой алгебре Ли (§ 81). Первоначальная классификация алгебр Ли основана на простейших свойствах такого представления.

§ 81. Присоединенное представление алгебры Ли

Пусть X — алгебра Ли. Линейный оператор в пространстве X называется дифференцированием, если

Если дифференцирования, то всякая их линейная комбинация и коммутатор также являются дифференцированиями. Следовательно, множество всех дифференцирований в алгебре X также образует алгебру Ли.

Каждому элементу отнесем линейный оператор а в пространстве X следующим образом:

Как следует из тождества Якоби, оператор есть дифференцирование. При этом

Операторы называются внутренними дифференцированиями. Как показывает последнее тождество, отображение является представлением алгебры

Пример. Как мы знаем, в алгебре Ли существует базис относительно которого выполняются следующие соотношения коммутации: причем все остальные коммутаторы либо равны нулю, либо получаются из указанных изменением знака. Если рассматривать операторы в базисе то мы получаем

Нетрудно проверить непосредственно, что эти операторы образуют базис трехмерного представления алгебры Если рассматривать как алгебру Ли то данное представление может быть продолжено до трехмерного представления группы Очевидно, это представление задается ортогональными матрицами. В результате получаем известный нам локальный изоморфизм

Если X — алгебра Ли связной группы то представление всегда может быть продолжено до представления группы действующего в X как в линейном пространстве. Это представление мы обозначаем и называем присоединенным представлением группы G. Исходя из общей теории групп Ли, легко проверить, что совпадает с преобразованием касательных

векторов относительно внутренних автоморфизмов Следовательно, всякое внутреннее дифференцирование есть главная линейная часть внутреннего автоморфизма в группе G.