§ 91. Подалгебры Картана

Решающим шагом в нашем построении является диагонализация некоторого семейства операторов для полупростой комплексной алгебры Введем вначале следующее.

Определение 2. Пусть X — полупростая алгебра Ли и регулярный элемент в этой алгебре. Пусть максимальная коммутативная подалгебра, содержащая Алгебра называется картановской подалгеброй в алгебре

Теорема 1. Если X — полупростая комплексная алгебра Ли и — ее картановская подалгебра, то все операторы одновременно диагонализуются в некотором базисе алгебры

Доказательство. Рассмотрим разложение Фиттинга алгебры X по отношению к подалгебре :

где корневое подпространство, на котором все операторы одновременно приводятся к треугольной форме с единственным собственным значением на диагонали, равным Положим

где диагональная часть оператора для всякого Заметим, что для всякой пары векторов имеет место равенство

Следовательно, является дифференцированием на всей алгебре Согласно теореме (§ 87) это дифференцирование является внутренним, т. е. при некотором Поскольку коммутирует с (это вытекает непосредственно из определения и

поскольку представление является точным, то коммутирует с в алгебре Следовательно, ввиду максимальности Элемент имеет только нулевые корни. Следовательно,

для каждого (Здесь Следовательно, Отсюда в свою очередь и операторы одновременно диагонализуются. Теорема доказана.

Замечание. Если бы мы предполагали дополнительно, что X — комплексная оболочка компактной алгебры Ли, то утверждение теоремы 1 можно было бы получить из унитарности присоединенного представления в X для компактной группы построенной в § 90.

В дальнейшем мы будем постоянно иметь дело с разложением Фиттинга в алгебре X по отношению к картановской подалгебре Заметим, что ввиду теоремы 1 операторы обращаются в нуль на подпространстве Следовательно, для всех Следовательно, ввиду максимальности алгебры Разложение Фиттинга мы будем теперь записывать в виде

Докажем, что полученное разложение обладает следующими замечательными свойствами:

2° Форма Киллинга — Картана невырождена на паре

Для доказательства этих утверждений достаточно напомнить соотношение доказанное в § 86. Следовательно, если Следовательно, также

если Если то все диагональные блоки оператора нулевые (по отношению

к разложению Следовательно, в этом случае и доказано.

Свойство 2° непосредственно вытекает из 1° и невырожденности формы Киллинга — Картана на паре Действительно, если вектор ортогонален к то согласно 1° он ортогонален ко всей алгебре X, откуда следует, что Согласно известным результатам линейной алгебры из свойства 2° мы получаем также следующее утверждение:

3°. Пространства имеют одинаковую размерность.

Следовательно, вместе с корнем а обязательно встречается также корень —а, причем оба эти корня встречаются с одинаковой кратностью.

Из результатов 1° и 2° мы заключаем также, что алгебра ортогональна ко всем подпространствам и форма Киллинга — Картана невырождена в

Поскольку система корней допускает симметрию по отношению к замене а на —а, нам будет удобно выделить среди этих корней «положительные» и «отрицательные». Для этого выберем в произвольный вещественный базис и положим

где комплексная размерность вещественные координаты элемента Назовем корень а положительным, если первая из ненулевых координат положительна. Соответственно мы считаем, что если Следовательно, мы ввели в систему корней лексикографическое упорядочение. В результате

где -прямая сумма всех корневых подпространств для которых Подпространство соответствует нулевому корню.

Пример. . Докажите, что элемент является регулярным тогда и только тогда, когда все

его собственные значения различны. Следовательно, диагонализуется в некотором базисе и состоит из всех матриц, диагональных в этом базисе. Положим

где совокупность всех нижних (верхних) треугольных матриц с нулевыми элементами на диагонали. Пусть стандартный базисный элемент в алгебре тогда мы имеем

где собственные значения матрицы Следовательно, всякий ненулевой корень имеет вид и соответствующее корневое подпространство одномерно. Запишем всякий корень в виде тогда коэффициенты являются целыми числами и мы имеем

Следовательно, указанное выше разложение совпадает с тем стандартным разложением, которым мы постоянно пользовались при изучении алгебры Налагая дополнительное условие мы получаем тот же результат для

Заметим теперь, что если то и алгебра X является полупростой. (Действительно, содержит все элементы а следовательно, и элементы Кроме того, представление X неприводимо, т. е. алгебра X является простой. Сопоставляя этот пример с общим

построением данного параграфа, мы отметим следующую специфику этого частного случая:

1. Все ненулевые корни различны, т. е. соответствующие корневые подпространства одномерны.

2. Корни порождают путем сложения все остальные положительные корни

3. Корневые векторы порождают при коммутировании всю алгебру

Важно заметить также, что корни имеют целые координаты относительно некоторого базиса. В следующем параграфе мы исследуем аналогичные вопросы в общем случае.