§ 43. Бикомплексные группы и алгебры Ли

В § 39 мы встретились с ситуацией (довольно обычной в анализе), когда комплексные переменные (черта означает сопряжение) естественно рассматривать как независимые. Логический анализ этой ситуации нетрудно провести для произвольной группы или алгебры Ли. При этом мы получаем эффективное средство для изучения вещественных представлений комплексной группы (или алгебры) Ли.

Определение 4. Пусть X — вещественная алгебра Ли, ее комплексная оболочка и — комплексная оболочка алгебры I, которая снова рассматривается над вещественным полем (с удвоенным числом параметров). Алгебру мы будем называть бикомплексной оболочкой алгебры

Пусть произвольный базис в алгебре тогда векторы образуют базис в вещественной алгебре Если структурные константы X, то мы имеем

Полученные формулы определяют также закон коммутации в бикомплексной оболочке X при условии, что

рассматриваются всевозможные комплексные линейные комбинации независимых символов

Пример. Пусть Тогда формулы определяют закон коммутации в вещественной алгебре которая является алгеброй Ли группы Лоренца. Переход от X к означает попросту, что допускаются комплексные линейные комбинации базисных элементов.

Всякую бикомплексную оболочку вещественной алгебры Ли мы будем называть бикомплексной алгеброй Ли. Соответствующие определения будем использовать для группы Ли.

Определение 5. Пусть вещественная группа Ли, ее комплексная оболочка и комплексная оболочка группы рассматриваемой над полем вещественных чисел (с удвоенным числом параметров). Группу мы будем называть бикомплексной оболочкой группы G.

Если является правильной комплексной оболочкой группы является правильной комплексной оболочкой вещественной группы то условимся также говорить, что является правильной бикомплексной оболочкой группы G.

Условимся также в следующей терминологии. Скажем, что алгебра X является прямой суммой двух идеалов если где две взаимно перестановочные подалгебры в алгебре Z. Скажем, что группа G является локально прямым произведением двух подгрупп если G локально изоморфна прямому произведению Если группа Ли, то очевидна связь между этими определениями, вытекающая из общей связи между группами и алгебрами Ли.

Теорема 3. Пусть X — бикомплексная оболочка вещественной алгебры Тогда X является прямой суммой двух идеалов, каждый из которых изоморфен комплексной оболочке X алгебры

Аналогично, если бикомплексная оболочка вещественной группы то является локально прямым

произведением двух подгрупп, каждая из которых изоморфна комплексной оболочке группы G.

Доказательство. Вещественная алгебра X распадается в прямую сумму двух линейных подпространств где (умножение на понимается в смысле комплексной оболочки X). При этом, очевидно, существует изоморфное линейное отображение (заменяющее умножение на для которого

при условии, что Если вместо рассматривать то в этом случае допускаются всевозможные комплексные комбинации векторов Для каждого положим

где символ продолжается на X по линейности для любого комплексного X). Нетрудно убедиться непосредственной проверкой, что элементы перестановочны при любых и если то мы имеем

Следовательно, множества состоящие из всевозможных элементов являются подалгебрами в При этом, как нетрудно видеть, а пробегает всю алгебру Из сравнения размерностей следует также, что сумма А является прямой. Следовательно, первая часть теоремы доказана.

Для доказательства второй части теоремы достаточно рассмотреть тот случай, когда группа односвязна. Пусть односвязные группы Ли с алгебрами Ли соответственно. Группа односвязна и потому изоморфна Переход к общему случаю осуществляется, как обычно, факторизацией по центральному дискретному делителю. Теорема доказана.

Замечание. Запишем всякий элемент в виде Условимся также отождествлять такой элемент с парой Если вещественны, то мы получаем, очевидно, подалгебру изоморфную алгебре Если то также получаем подалгебру, изоморфную X (которая может быть определена как «диагональ» из элементов вида Соответственно группа может быть реализована как «диагональ» в группе

Идеалы построенные при доказательстве теоремы 3, мы будем называть соответственно аналитическим и антианалитическим идеалами в I.

Пусть вещественное представление алгебры Допуская комплексные комбинации операторов мы можем продолжить это представление до представления алгебры Положим

Здесь мы используем символ вместо поскольку это не может вызвать недоразумения. Как и в доказательстве теоремы 3, легко проверить, что символы осуществляют разбиение данного представления в прямую сумму двух идеалов. Иначе говоря,

для всех и каждый из символов определяет представление алгебры Представление алгебры X мы называем аналитическим (антианалитическим), если Иначе говоря, в этих случаях мы имеем соответственно

В первом случае для любого комплексного К. Следовательно, является в этом случае комплексным представлением алгебры Во втором случае мы имеем

Если возникает как дифференциал представления группы то операторы можно

рассматривать как инфинитезимальные операторы бикомплексной группы Кроме того, эти операторы могут быть определены с помощью формальных производных:

где произвольное комплексное число однопараметрическая комплексная подгруппа в комплексной группе Следовательно, использование формальных производных означает, по существу, переход к бикомплексной группе

В заключение исследуем важный вопрос о структуре неприводимых представлений группы Докажем вначале следующую общую лемму:

Лемма. Пусть алгебра X является прямой суммой двух идеалов Тогда любое ее неприводимое представление является тензорным произведением неприводимых представлений т. е. двух неприводимых представлений алгебры X, одно из которых обращается в нуль на В и второе обращается в нуль на А.

Доказательство. Пусть V — пространство представления и подпространство, неприводимое относительно подалгебры А. Пусть произвольный полином от инфинитезимальных операторов подалгебры В. Тогда либо либо инвариантно относительно А, с представлением, эквивалентным представлению в Действительно, из перестановочности и А следует, что переплетает представления в остается применить лемму Шура. Из цикличности V по отношению к алгебре всех инфинитезимальных полиномов следует, что Ввиду конечномерности V достаточно рассматривать лишь конечное число слагаемых. В результате

(прямая сумма), где Мы видим, что сужение данного представления на подалгебру А распадается в прямую сумму одинаковых

неприводимых представлений. Пусть — базис в подпростанстве тогда векторы образуют базис во всем пространстве (В частности, пространство V имеет размерность где Легко проверить, что в найденном базисе представление алгебры X имеет структуру тензорного произведения двух указанных в лемме неприводимых представлений. Лемма доказана.

Применяя эту лемму к представлениям алгебры X и группы получаем согласно теореме 3

Следствие 1. Пусть комплексная оболочка вещественной связной группы Ли. Тогда всякое неприводимое конечномерное вещественное представление группы является тензорным произведением двух неприводимых представлений группы одно из которых аналитично, а другое антианалитично.

Действительно, достаточно проверить аналог этого утверждения для представлений алгебры X, где X — алгебра Ли группы Каждое такое представление продолжается по линейности до представления комплексной алгебры где аналитический и антианалитический идеалы. Применяя лемму, получаем нужное утверждение.

Замечание. Даже если исходное представление группы было однозначно, его аналитическая и антианалитическая компоненты могут оказаться неоднозначными (см. пример в § 39).

Отметим еще одно важное следствие теоремы 3.

Следствие 2. Пусть правильная комплексная оболочка компактной группы Ли. Тогда для всех ее вещественных конечномерных (не обязательно комплексно-аналитических) представлений сохраняется принцип полной приводимости.

Мы докажем это утверждение только в том случае, когда односвязна. В этом случае Вместо представления группы мы можем рассматривать его аналитическое продолжение на Заметим, что если компактная форма в то компактная форма в Следовательно, группа является

надкомпактной, и принцип полной приводимости выполняется для всех ее аналитических представлений.

Из результатов гл. XV в действительности будет следовать, что всякая бикомплексная оболочка компактной группы Ли является надкомпактной. Отсюда вытекает доказательство следствия 2 в общем случае.