§ 94. Структурная матрица Картана

Пусть система простых корней алгебры Множество целых чисел

несет в себе информацию о геометрии системы Матрица называется структурной матрицей Картана.

Теорема 4. Если две полупростые комплексные алгебры Ли имеют одну и ту же структурную матрицу Картана, то они изоморфны.

Доказательство. Пусть - две полупростые комплексные алгебры Ли. Из совпадения структурных матриц Картана следует, в частности, что эти алгебры имеют одинаковый ранг. Кроме того, существует взаимно однозначное соответствие между подсистемами простых корней в Заметим, что знание чисел позволяет определить длины векторов с точностью до общего множителя Далее, согласно свойству 5° из

предыдущего параграфа существует также взаимно однозначное соответствие между системами корней в Очевидно, это соответствие является изометрией с точностью до множителя Пусть произвольные корни алгебры Тогда имеем

Такое же соотношение должно выполняться для алгебры Нетрудно видеть, что это возможно только при Теперь мы попросту можем отождествить системы корней в Используя базис Картана — Вейля, заключаем, что изоморфны как линейные пространства. Далее, условимся, что корневые векторы нормированы одним и тем же соотношением тогда и остается исследовать соотношения коммутации вида

Покажем, что за счет перенормировки базиса можно добиться выполнения равенства для всех Заметим, что множество вполне упорядочено. Введем обозначение для множества всех ненулевых корней а, для которых Если корень а непосредственно следует за то мы имеем

Следовательно, в нашем распоряжении имеется возможность конечной индукции по возрастающему индексу Допустим, что равенство уже доказано для всех корней таких, что Добавляя корень мы приходим к рассмотрению троек , у которых хотя бы один из элементов совпадает с Полагая а приходим к рассмотрению троек , а которых хотя бы один из элементов совпадает с Ясно, что этим свойством может обладать лишь один из элементов Рассмотрим отдельно следующие возможные случаи.

1. Корень невозможно представить в виде суммы а В этом случае корень вообще невозможно представить в виде суммы двух

положительных корней (т. е. он является простым), и для векторов мы выбираем произвольную нормировку с учетом равенства

2. Существует единственная пара векторов для которых а Ввиду соотношений симметрии при доказанных в § 92, мы можем ограничиться рассмотрением констант Вычисляя коммутатор мы нормируем вектор так, чтобы выполнялось равенство

Следовательно, в этом случае Нормируем теперь исходя из условия и покажем, что при этом выполняется также равенство этого заметим, что

где Действительно, в силу условия мы имеем Разделим обе части этого равенства на ; тогда элементы мы можем заменить нормированными элементами введенными при доказательстве теоремы 2. Тогда полученное равенство запишется в виде где Собственное значение X не зависит от нормировки вектора и определяется только законами представлений трехчленной алгебры Следовательно,

и отсюда вытекает наше утверждение. В результате получаем равенства

3. Наряду с рассмотренной парой корней существует также другая пара для которой а Нормировку векторов производим, как и выше (по отношению к паре Положим Тогда и ни одна из попарных сумм этих корней не обращается в нуль. Применяя тождество Якоби к

элементам легко получаем равенство

Такое же равенство должно иметь место для Заметим, что Следовательно, в последних двух членах получаемой суммы штрихи можно опустить. В результате (напомним, что ), и отсюда Аналогично,

Теорема доказана.

Следствие. Всякий автоморфизм подалгебры сохраняющий систему корней, может быть продолжен до автоморфизма всей алгебры X, т. е. до линейного отображения при котором

Замечание 1. Пусть матрица скалярных произведений всех корней Как мы видели при доказательстве теоремы 4,

где штрих означает транспонирование (и также поскольку ). Поскольку вещественно, то отсюда вытекает, что матрица является положительно определенной.

Замечание 2. Применим следствие из теоремы 4 к автоморфизму в алгебре Пусть продолжение этого автоморфизма на алгебру тогда, очевидно, Поскольку форма Киллинга — Картана должна сохраняться при автоморфизме, то мы имеем

откуда Полагая получаем новые корневые векторы для которых Следовательно, векторы можно с самого начала считать нормированными так, чтобы отображение

определяло автоморфизм всей алгебры Иначе говоря, при указанном выборе базиса мы имеем Полагая мы можем также добиться выполнения равенства

Замечание 3. При доказательстве теоремы 4 мы видели, что где собственное значение оператора на векторе Обращаясь к теории представлений алгебры легко находим, что где - старший вес неприводимого представления в базисе Следовательно,

если условиться считать, как выше, что Поскольку то мы заключаем, что т. е. рациональное вещественное число. Известно также ([145]), что при некоторой нормировке базиса все константы могут быть сделаны целыми.