§ 37. Неприводимые представления группы SU(2)

В этом параграфе мы займемся частным вопросом об описании неприводимых представлений алгебры Мы не знаем пока, всякому ли представлению алгебры Ли отвечает представление соответствующей группы Ли. Однако согласно результатам предыдущего параграфа, перечисляя неприводимые представления алгебры мы не пропустим, в частности, ни одного неприводимого представления группы

Согласно построениям предыдущего параграфа наша задача сводится к рассмотрению всевозможных троек линейных операторов удовлетворяющих соотношениям коммутации

с циклической перестановкой индексов (Коммутаторы, взятые в обратном порядке, отличаются знаком.) При этом данная тройка предполагается неприводимой. Вместо базисных элементов удобно рассматривать их комплексные линейные комбинации

которые удовлетворяют следующим соотношениям коммутации:

Преимущество этих соотношений коммутации состоит, формально говоря, в том, что операторы оказываются «собственными векторами» относительно преобразования Следствием этого условия является

Лемма 1. Если вектор является собственным вектором в пространстве V относительно с собственным значением X, то векторы

также являются собственными относительно с собственными значениями соответственно

Доказательство. Заметим, что Отсюда имеем

Аналогично рассматривается вектор Лемма доказана.

Поскольку пространство V предполагается конечномерным, то существует максимальное собственное значение оператора которое обозначим Пусть — соответствующий собственный вектор, тогда «повышающий» оператор обращает этот вектор в нуль. В результате имеем

Применяя к вектору «понижающий» оператор и его всевозможные степени, получаем цепочку элементов каждый из которых является собственным относительно с собственным значением Ввиду конечности числа собственных значений эта цепочка должна оборваться:

Пусть линейная оболочка полученных векторов Покажем, что является циклической оболочкой вектора относительно алгебры всех полиномов от операторов Действительно,

используя соотношения коммутации, мы можем всякий одночлен от этих операторов привести к виду

с точностью до слагаемых, имеющих меньшую общую степень. Этот одночлен может быть отличен от нуля на векторе только при условии Операция сводится к растяжению вектора операция переводит этот вектор в вектор, коллинеарный Следовательно, Но тогда ввиду неприводимости Поскольку векторы имеют различные собственные значения, то они линейно независимы. Следовательно, они образуют базис в пространстве

Нам уже известны правила действия операторов в выбранном базисе. Остается определить действие оператора Для этого удобно использовать оператор

который, как легко проверить, отличается лишь множителем — 1 от оператора Казимира К, введенного в конце предыдущего параграфа. Отсюда следует, что А перестановочен со всеми операторами Мы по-прежнему будем называть оператор А оператором Казимира. Заметим, что

в силу соотношений коммутации между операторами Согласно первому из этих выражений мы имеем

Поскольку А коммутирует с мы, очевидно, имеем также для каждого Следовательно, А является скалярным оператором на всем пространстве (Это следует также из леммы Шура.) Согласно второму из указанных выражений мы имеем

и это тождество дает нам способ для вычисления оператора Действительно, применяя обе части этого тождества к вектору находим

Отсюда, заменяя каждый оператор в правой части соответствующим собственным значением, находим после несложных вычислений, что имеет место

Лемма 2. Оператор в базисе выражается следующей формулой:

Между числами существует соотношение т. е. I является целым или полуцелым. Число является минимальным собственным значением оператора

Для доказательства последнего утверждения достаточно рассмотреть вектор котором обращается в нуль. Если вектор имеет собственное значение относительно то, согласно указанным выше формулам для оператора А, мы имеем

Подставляя значение мы находим после несложных вычислений (учитывая, что равенство Отсюда следует также равенство

Следствие. Спектр оператора симметричен относительно начала координат. Пространство V имеет размерность

Для окончательной записи полученного результата удобно вместо нумерации использовать нумерацию Для этого мы полагаем и вводим обозначение для базисного вектора с собственным значением

Теорема 2. Всякое неприводимое представление алгебры в пространстве конечной размерности определяется однозначно, с точностью до эквивалентности, числом I, полуцелым или целым. Существует базис относительно которого операторы задаются формулами

Здесь операторы являются указанными выше комплексными линейными комбинациями базисных операторов В частности, следовательно, в данном базисе оператор диагонализуется. Пространство представления имеет размерность Каждый из операторов диагонализуется в некотором базисе.

Доказательство. Формул следует из определения вектора х. Формула равносильна нормировке базисного вектора при этом автоматически учитывается условие Формула для легко вычисляется отсюда с помощью леммы 2.

Не представляет труда проверить, что полученное представление действительно неприводимо. В самом деле, если произвольный вектор в пространстве представления, то, применяя к нему достаточно высокую степень повышающего оператора получаем, с точностью до множителя, базисный вектор Применяя теперь понижающий оператор получаем все остальные базисные векторы Следовательно, циклическая оболочка относительно алгебры порожденной совпадает со всем пространством Но это и означает, согласно правилу цикличности, неприводимость

Наконец, последнее замечание относительно диагонализации операторов вытекает непосредственно из симметричности коммутационных соотношений по отношению к циклической перестановке таких операторов. Теорема доказана.

Каждое собственное значение оператора принято называть весом данного представления. Максимальный вес I называется обычно старшим весом, а соответствующий базисный вектор старшим вектором. (Аналогично вводятся понятия младшего веса и младшего вектора представления — заменой на Неприводимое представление со старшим весом I мы условимся обозначать символом

Выясним теперь вопрос о возможности перехода к группе Поскольку каждое неприводимое представление этой группы реализуется в классе тензоров, то естественно попробовать для каждого старшего веса I

отыскать соответствующее представление в классе тензоров. Исходя из нумерации естественно исследовать в первую очередь симметрические тензоры. Действительно, симметрические тензоры ранга над двумерным пространством имеют размерность

Вместо симметрических тензоров удобно рассматривать соответствующие полиномы где индексы пробегают значения 1, 2. Вводя обозначения х, у вместо и располагая эти координаты в виде строки, приходим к рассмотрению следующих преобразований:

Действительно, указанная операция под знаком полинома равносильна умножению строки (х,у) справа на матрицу

При этом произвольный однородный полином степени т. е. линейная комбинация одночленов Используя свойство однородности, мы можем положить где положено После несложного пересчета получаем следующую формулу в классе функций

Здесь мы по-прежнему используем символ для нового закона преобразований в классе полиномов Очевидно, является полиномом степени не выше т. е. линейной комбинацией одночленов Следовательно, пространство представления имеет размерность

Теорема 3. Всякое неприводимое представление группы определяется однозначно с точностью до эквивалентности числом I, полуцелым или целым. Это представление может быть реализовано формулой

в классе однородных полиномов степени либо формулой в классе полиномов степени Соответственно данное представление реализуется также в классе ковариантных симметрических тензоров ранга

Доказательство. Найдем дифференциал представления Строго говоря, мы должны построить в систему трех однопараметрических подгрупп с касательными векторами и вычислить затем соответствующие инфинитезимальные операторы в пространстве представления Однако удобнее вместо этого непосредственно отыскивать операторы Для этого достаточно заметить, что формула задает представление не только группы но также группы которая является ее комплексной оболочкой. Очевидно, комплексные линейные комбинации являются инфиннтезимальными операторами по отношению к При этом существенно отметить, что формулы задаются комплексно-аналитическими функциями от параметров Следовательно, при вычислении инфинитезимальных операторов мы можем рассматривать однопараметрические подгруппы с комплексным аддитивным параметром. Положим

где I — аддитивный параметр (комплексный или вещественный). Тогда мы получаем систему трех однопараметрических подгрупп с касательными векторами

Непосредственной проверкой убеждаемся, что эти элементы удовлетворяют коммутационным соотношениям Нетрудно также видеть, что где касательные векторы для Переходя к операторам представления, положим

В результате имеем

Производя дифференцирование и полагая получаем следующую систему инфинитезимальных операторов

Вычислим закон преобразования для элементов базиса Имеем

Следовательно, мы получаем те же основные формулы, что и в теореме 2. Это означает, что для каждого представления алгебры найдено соответствующее представление группы (имеющее своим дифференциалом). Это означает также, что группа не имеет более (с точностью до эквивалентности) никаких иных неприводимых представлений. Действительно, группа является связной и всякое ее представление определяется, с точностью до эквивалентности, своим дифференциалом.

Теорема доказана.

Неприводимое представление группы со старшим весом мы условимся обозначать символом В результате получена полная классификация неприводимых представлений этой группы.

Указанное выше построение является классическим образцом применения инфинитезимального метода. Отметим несколько добавочных возможностей, заложенных в этом построении.

Замечание 1. Пусть пространство V конечномерно, но не обязательно неприводимо. Применяя указанный процесс построения, мы можем начать с рассмотрения старшего вектора и построить шаг за шагом цепочки вида отвечающие старшим весам Нетрудно видеть, что

таким путем удается построить базис в пространстве представления. Но это означает, что V вполне приводимо. Таким путем мы получаем алгебраическое доказательство принципа полной приводимости

Замечание 2. Если бы мы с самого начала использовали соответствие между представлениями то доказательство теоремы 2 можно было бы несколько упростить. Действительно, рассмотрим в подгруппу диагональных матриц

Соответствующее семейство операторов унитарно и коммутативно; следовательно, существует базис, в котором операторы Ту диагонализуются. Но это приводит сразу к заключению о диагонализации оператора который является инфинитезимальным оператором однопараметрической группы Ту.

Далее, всякое собственное значение оператора Ту имеет вид где целое число. Сравнивая с определением оператора данным при доказательстве теоремы 3, заключаем, что собственные значения могут быть только целыми или полуцелыми. Наконец, полагая

замечаем, что преобразование сводится к перестановке собственных значений матрицы у, т. е. к замене на В то же время откуда легко заключить, что оператор переводит каждый собственный вектор Ту с собственным значением. в новый собственный вектор с собственным значением Отсюда следует симметрия в классе собственных значений оператора

Замечание 3. Нетрудно видеть, что для каждого Отсюда следует, что всякое представление эквивалентно своему контрагредиентному. (Отсюда ясно также, почему все неприводимые представления удалось реализовать в классе только ковариантных тензоров.) Элемент мы будем иногда называть элементом Вейля.

Замечание 4. Отбросим условие конечномерности, но потребуем взамен выполнения следующих двух условий: 1) существования старшего вектора цикличности этого вектора по отношению к алгебре порожденной операторами Повторяя почти без изменения предыдущие

построения, получаем существование весового базиса по отношению к которому операторы представления имеют следующий вид:

Последняя формула аналогична указанной в лемме 2. Однако старший вес I может быть теперь произвольным комплексным. Полученное представление неприводимо всегда, за исключением случая при некотором целом неотрицательном Действительно, в этом случае мы имеем

Следовательно, вектор снова является старшим по отношению к Его циклическая оболочка является инвариантным подпространством в пространстве Нетрудно видеть, что неприводимо. В то же время фактор-пространство конечномерно и в нем действует уже известное нам конечномерное представление

В результате мы можем заключить, что алгебра допускает бесконечномерные неприводимые представления (которые, однако, не могут быть продолжены до представлений группы

Замечание 5. Неприводимое представление группы является симметризованной частью тензорного произведения где двумерное представление (исходное представление означает тензорную степень. В представлении роль базисных векторов играют линейные функции х, у, введенные выше. Если рассматривать х, у как некоммутативные символы, то базисный вектор х, построенный при доказательстве теоремы 3, возникает при симметризации одночленов вида , где х встречается раз и у встречается раз. Введем в пространство тензоров ранга обычное скалярное произведение, при котором все одночлены взаимно ортогональны и имеют единичную норму. Отсюда следует, что

где константа, не зависящая от Действительно, есть число одночленов указанного вида и в то же время скалярный квадрат суммы таких одночленов. В силу вышесказанного вектор х отличается

лишь множителем от этой суммы. Следовательно, если положим

то мы получим ортонормированный базис в пространстве представления. Легко проверить, что

В реализации следует заменить х на одночлен Операторы группы являются, очевидно, унитарными относительно выбранного базиса. Операторы антиэрмитовы, операторы взаимно сопряжены, и оператор самосопряжен.

На примере группы в значительной степени намечаются черты более общей теории.