ГЛАВА XII. ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ U(n)

Среди различных задач спектрального анализа для представлений группы О одной из основных является следующая задача. Даны два неприводимых представления группы О. Требуется разложить представление с на неприводимые. Эта формулировка является корректной, во всяком случае, если вполне приводимо. В данной главе последнее условие всегда будет выполнено, поскольку в качестве G будет рассматриваться компактная группа

Первым шагом в решении указанной задачи является обычно составление «списка» неприводимых представлений, входящих в т. е. перечисление соответствующих кратностей вхождения (кратность является натуральным числом либо нулем). Более сложной является задача описания инвариантных подпространств, в которых действуют неприводимые компоненты. Мы приводим решение этой задачи для только в простейшем случае однако и для общего случая намечаем путь решения.

Для группы более подробная формулировка задачи приводится в начале § 77. Мы приводим в этой главе несколько методов отыскания спектральных кратностей: метод характеров (§ 77), метод Z-инвариантов (§§ 78, 79) и сочетание последнего метода с методом детерминантов Вейля (§ 80). Из этих методов лишь метод Z-инвариантов может быть использован также для отыскания неприводимых подпространств (см. § 79).

§ 77. Метод характеров

Положим и фиксируем два неприводимых представления этой группы с сигнатурами Пусть — кратность, с которой встречается в тензорном

произведении Тогда имеем спектральную формулу

, если не содержится в данном Представлении). Требуется вычислить неотрицательную целочисленную функцию Для решения этой задачи естественно попытаться использовать метод характеров. Действительно, вычисляя характеры обеих частей спектральной формулы, мы находим

Поскольку характер есть функция классов, достаточно рассматривать только диагональные матрицы . В результате получаем систему числовых уравнений для определения кратности .

Поскольку для характеров нам известна явная формула естественно попытаться найти решение этой системы в явном виде. Положим и запишем произвольный вес в виде где -мерный вектор и — скалярное произведение векторов Положим

Здесь весовая кратность, или весовая диаграмма в терминах гл. XI. Умножим обе части нашей системы уравнений на полином тогда заменятся соответственно полиномами определенными в § 73. Левая часть спектральной формулы принимает вид

Здесь сигнатура, отвечающая второму сомножителю вектор имеет координаты ; соответственно полином выражается через вектор для которого означает произвольную подстановку координат

Поменяем местами суммирование по Поскольку мы можем при каждом фиксированном заменить на . В результате получаем

С другой стороны, правая часть спектральной формулы имеет вид

Здесь а — произвольная подстановка и у — произвольный -мерный вектор; однако функция ту отлична от нуля только в том случае, когда вектор у является сигнатурой, входящей в произведение При этом имеем

Сравним обе части полученной формулы. Заметим вначале, что вектор удовлетворяет условию и ни один из векторов не удовлетворяет этому условию. Назовем вектор х доминантным, если Таким образом, можем сказать, что показатель в является доминантным только при

С другой стороны, найдем все доминантные показатели в Вектор не обязан быть доминантным. Однако при некоторой подстановке мы можем получить доминантный вектор

Если не содержится в то соответствующая экспонента в содержится с суммарным коэффициентом 0, и этот случай нас интересовать не будет. С другой стороны, если содержится в то удовлетворяет условию «строгой» доминантности откуда очевидно, что подстановка определяется единственным образом. (Действительно,

если две такие подстановки, то откуда Для этой единственной подстановки введем обозначение Она определяется тем условием, что ее применение к вектору к переводит этот вектор в доминантный вектор, равный

Соберем теперь все слагаемые в которые приводят указанным выше способом к одному и тому же значению Тогда окончательно получаем, что

Действительно, экспоненты при различных к линейно независимы, и равенство означает равенство коэффициентов при каждой экспоненте. Окончательный результат формулируется следующим образом:

Теорема 1. Пусть — весовая диаграмма представления спектральная кратность представления Тогда имеет место формула

где подстановка определяется тем условием, что она переводит вектор в вектор Здесь в зависимости от четности или нечетности подстановки

Таким образом, вычисление кратности можно описать в геометрических терминах следующим образом: 1) рассматривается орбита точки относительно группы подстановок; 2) рассматривается множество получаемое из спектра представления путем параллельного переноса на вектор определяется пересечение этих двух множеств, при этом искомая кратность получается из кратности знакопеременным суммированием по конечному множеству

Пример. Даны две сигнатуры: группы Положим Требуется найти кратность вхождения

В нашем случае Орбита состоит из шести точек,

получаемых из (16,8,2) перестановками координат. Вместо вычисления мы рассмотрим множество Оно состоит из следующих шести точек: . С другой стороны, спектр приведен в § 74 (рис. 3). Из данных шести точек лишь точка (5, 3, 1) содержится в причем с кратностью 2. Следовательно, искомая кратность равняется двум.

Упражнение

(см. скан)

Сформулируем полученный результат в несколько иной форме. Определим при фиксированном функцию следующим образом. Назовем вектор вырожденным, если хотя бы две его координаты совпадают. Назовем вектор х четным (нечетным), если он невырожден и преобразуется к доминантному виду с помощью четной (нечетной) подстановки. Положим

Заметим, что всякий вектор х при помощи некоторой подстановки может быть сделан доминантным; при этом, если он невырожден, то такая подстановка определяется единственным образом. Следовательно, наше определение корректно Покажем, что имеет место

Теорема 2. Спектральная формула тензорного произведения для группы может быть записана в виде

Здесь а функция и подстановка определяются, как выше. При этом

в зависимости от вырожденности или невырожденности вектора

Доказательство. Соберем в сумме все слагаемые с одинаковым доминантным показателем Соответствующий суммарный коэффициент есть где сумма берется лишь по тем значениям , для которых справедливо указанное равенство, и

где сумма берется по множеству всех подстановок, удовлетворяющих тому же равенству с фиксированными Очевидно, где произвольный элемент из группа всех подстановок, сохраняющих вектор к Соответственно

где и последняя сумма берется по группе Если вектор к невырожден, то состоит из единичного элемента Если вектор к вырожден, то группа содержит хотя бы одну транспозицию (перестановка одинаковых координат) . В этом случае

ибо Следовательно, в этом случае Полагая получаем нужную формулу. Теорема доказана.