§ 82. Идеал и нормальный делитель

Теперь мы можем ввести одно из самых основных понятий в теории алгебр Ли (имеющее также аналог и в теории ассоциативных алгебр) - понятие идеала.

Идеалом в X называется всякое линейное подпространство, инвариантное относительно присоединенного представления в

Иначе говоря, линейное подпространство У с X является идеалом, если для всякого и всякого мы имеем Поскольку это условие выполняется, в частности, при то всякий идеал является подалгеброй в алгебре Поэтому можно определить идеал как инвариантную подалгебру.

Аналогом этого понятия в теории групп (не обязательно групп Ли) является понятие нормального делителя. Подгруппа называется нормальным делителем, если она инвариантна относительно внутренних автоморфизмов. Иначе говоря, если то

Если группа Ли и ее нормальный делитель, то алгебра Ли подгруппы является, очевидно, идеалом в алгебре Ли группы G. Обратное также верно: всякому идеалу в алгебре Ли отвечает аналитическая подгруппа в группе которая является нормальным делителем в G. Однако такое соответствие взаимно однозначно лишь для связных подгрупп в группе G. В общем случае число нормальных делителей в группе G «превышает» число идеалов в алгебре X, поскольку связные нормальные делители могут быть иногда расширены до несвязных. В частности, группа G может содержать дискретные нормальные делители, для которых алгебра Ли состоит из единственного элемента 0.

Пример 1. Пусть X — трехмерная алгебра Ли, состоящая из матриц

где — действительные (или комплексные) числа. Показать, что подалгебра У, выделяемая условием является идеалом в алгебре

Пример 2. Показать, что алгебра не содержит ни одного идеала, кроме (0) и всей алгебры Однако группа содержит дискретный нормальный делитель, состоящий из матриц

Если — идеал, то линейное фактор-пространство наделяется структурой алгебры Ли. Действительно, если -класс эквивалентности то мы полагаем по определению

Если У — идеал, то легко проверить, что это определение корректно, т. е. коммутатор содержится в единственном классе, если пробегает пробегает

Точно так если нормальный делитель в группе G (не обязательно группе Ли), то фактор-пространство наделяется структурой группы. В этих случаях называются соответственно фактор-алгеброй и фактор-группой.

Предлагается в качестве упражнения найти фактор-алгебру и фактор-группу в примерах 1 и 2.

Одним из наиболее важных частных случаев идеала является центр алгебры Центром Z называется множество всех элементов каждый из которых перестановочен со всеми элементами из

Точно так же множество С называется центром группы если оно состоит из всех элементов сей, каждый из которых перестановочен со всеми элементами из G.

Если группа Ли и С — ее центр, то алгебра Ли подгруппы С совпадает с центром алгебра Ли группы Однако по алгебре Z непосредственно восстанавливается лишь связная компонента единицы в то время как весь центр может быть значительно шире. В частности, может случиться, что в то время как С — дискретная подгруппа в группе G.

Пример 3. Группа Элементами центра могут быть только матрицы кратные единице. Условие означает, что т. е. X является произвольным корнем степени из 1. Следовательно, центром является циклическая группа порядка

С точки зрения присоединенного представления алгебра Z есть максимальное подпространство в X, на котором все операторы обращаются в нуль. Следовательно, Z является идеалом в

Предлагается в качестве упражнения найти центр в алгебре т. е. в алгебре X из примера 1.