§ 10. Линейные группы, связанные с формами второго порядка

В приложениях часто встречаются линейные группы, которые выделяются из условием сохранения некоторой формы второго порядка, подобно тому как группа вращений сохраняет скалярный квадрат. Мы займемся в этом параграфе классификацией и описанием простейших свойств таких линейных групп.

Пусть исходное -мерное пространство. Для упрощения записей условимся рассматривать вектор как координатный вектор-столбец и записывать всякую билинейную форму над в виде

где постоянная матрица, определяющая эту форму, и штрих означает транспонирование. Заменяя транспонирование эрмитовым сопряжением, мы можем рассматривать также эрмитовы или полуторалинейные формы вида (которые линейны по у и антилинейны по

В дальнейшем мы всегда предполагаем, что форма невырождена, т. е. . (В противном случае форма содержит только часть переменных», определяющих х и у.) Равенство

означает, что форма остается инвариантной при преобразовании Множество всех линейных преобразований, оставляющих форму инвариантной, как увидим,

образует группу. Действительно, имеем

Поскольку это равенство имеет место для всех значений то мы заключаем, что матрицы равны. Равенство

необходимо и достаточно для инвариантности формы . В частности, это равенство является определяющим для Вычисляя детерминанты обеих частей этого равенства, находим

Поскольку мы условились, что отсюда находим . В частности, матрицы всегда невырождены. Отсюда ясно, что образует группу.

Отметим вначале простое правило для вычисления алгебры Ли группы Записывая в виде мы подставляем эту экспоненту в Дифференцируя по при находим

С другой стороны, предположим, что матрица х удовлетворяет этому условию. Дифференцируя функцию с заменой х на находим, что Следовательно, равенство

необходимо и достаточно для того, чтобы матрица х содержалась в алгебре Ли группы Иными словами, условие является определяющим для искомой алгебры Ли.

Замечание. В частности, мы получим ортогональную группу если положим Условие принимает вид и мы заключаем, что всякая матрица х, касательная к группе вращений, является кососимметрической. Этот результат, в частности, хорошо известен в аналитической механике.

Перейдем к вопросу о классификации групп Ограничимся тем практически важным случаем, когда форма симметрична или кососимметрична. За счет

определенного выбора базиса мы можем всегда привести форму к одному из принятых в алгебре «канонических» видов. Особенно легко проводятся эти построения над полем комплексных чисел.

I. Классификация групп над полем С. Если форма симметрична, то она, как известно, приводится в некотором базисе к виду

Следовательно, в этом случае группа изоморфна ортогональной группе, обозначаемой («комплексно ортогональная группа»). Если форма кососимметрична, то она, как известно, может быть невырожденной только в случае четной размерности и приводится к виду

Полученная группа обозначается и называется (комплексной) симплектической группой. Эта группа встречается в геометрии при изучении комплексов прямых и в аналитической механике при изучении касательных преобразований. Заметим, что в случае форма может быть также приведена к виду

по записи сходному . Последний способ записи действительно часто оказывается удобным при изучении группы Классификация групп над полем Над вещественным полем вместо формы мы получаем целую серию канонических форм:

которые отличаются друг от друга числом коэффициентов, равных ±1. Группа сохраняющая форму , обозначается и называется псевдоортогональной группой. Форма

определяет ортогональную группу над полем вещественных чисел. В кососимметрическом

случае мы по-прежнему получаем единственную группу выделяемую из условием вещественности.

III. Классификация для полуторалинейной формы В полуторалинейном случае различие между симметричными и кососимметричными формами несущественно, поскольку умножение всех координат на сводит эти случаи друг к другу. Каноническая запись формы имеет вид

Линейная группа, сохраняющая эту форму, обозначается и называется псевдоунитарной группой. Если то мы имеем форму

Линейная группа сохраняющая эту форму, нам уже известна. Группа состоит из всех унитарных матриц порядка и называется полной унитарной группой.

IV. Пересечения с группой Пусть пересечение группы с унимодулярной группой Подгруппа выделяется из условием Символ этой группы принято образовывать из символа приписыванием слева буквы S (special). Так возникают группы Группа называется иногда собственно ортогональной группой.

V. Пересечения с группой Представляют интерес линейные группы, получаемые из комплексной группы пересечением с При этом полученная группа сохраняет уже две формы второго порядка, одна из которых билинейна, а вторая полуторалинейна.

Начнем с рассмотрения В дальнейшем мы увидим, что если исходную билинейную форму записывать в виде то пересечение дает новую группу, отличную от и от обеих исходных групп. Эта группа обозначается и называется ортогонально-унитарной группой.

Аналогично, пересечение с унитарной группой приводит к рассмотрению новой линейной группы. Для этой группы мы введем обозначение и назовем ее симплектически-унитарной группой.

Символику, введенную для групп, дополним соответствующей строчной символикой для алгебр Ли:

Упражнения

(см. скан)