§ 88. Основные типы групп Ли

Если рассматривать только связные группы Ли, то для получения их классификации можно непосредственно воспользоваться результатами классификации для алгебр Ли. Связная группа Ли называется редуктивной, полупростой, простой, разрешимой, нильпотентной или абелевой, если ее алгебра Ли относится к одному из перечисленных типов. Однако в случае несвязных групп такой подход уже нежелателен, поскольку свойства

дискретной фактор-группы где компонента единицы, при этом совершенно не учитываются. Так, в предельном случае, когда группа G сама дискретна (т. е. алгебра Ли равна (0)), мы вообще не получаем информации о структуре группы G. Кроме того, определения разрешимости, нильпотентности и коммутативности естественно формулируются не только для групп Ли, но вообще для произвольных групп.

Пусть произвольная группа. Множество называется коммутаторной подгруппой, если К состоит из всевозможных коммутаторов вида и их произведений в любом (конечном) числе. Если топологическая группа, то вместо К рассматривают обычно замыкание этого множества в топологии G. Полученное множество снова является группой; оно обозначается G и называется производной подгруппой в группе G.

Определение 1. Группа G называется разрешимой, если при некотором

Здесь — кратная производная группы определяемая рекуррентно: где квадратные скобки заменяют обозначение производной. Аналогично можно ввести понятие центрального ряда группы G. Мы полагаем Далее, подгруппа определяется как т. е. как замкнутая подгруппа в порожденная коммутаторами вида Нетрудно видеть, что является нормальным делителем не только в но и во всей группе G.

Определение 2. Группа G называется нильпо тентной, если при некотором

В частности, группа G является абелевой, если т. е. если для всех Следовательно, определения нильпотентности и разрешимости являются естественными обобщениями понятия коммутативности. Как следует из данных определений, Отсюда нетрудно получить следующее утверждение: группа G разрешима тогда и только тогда, когда ее производная подгруппа нильпотентна.

Для разрешимой связной группы имеет место также аналог фундаментальной теоремы Ли;

Теорема Ли. Если разрешимая связная группа, то всякое ее неприводимое представление в комплексном пространстве одномерно.

Доказательство. Минимальное из чисел для которых назовем рангом группы. Если ранг равен единице, то теорема верна. Далее будем вести индукцию по рангу.

Пусть V — пространство представления группы подпространство, неприводимое относительно. Нетрудно видеть, что G вместе с G является разрешимой связной группой. Поскольку ранг G меньше ранга мы можем считать по допущению индукции, что одномерно. Следовательно,

для Применим к вектору произвольный оператор и выясним действие оператора на каждый элемент орбиты Поскольку G является нормальным делителем в то мы имеем где Следовательно,

Следовательно, всякий вектор снова является собственным вектором относительно с собственным значением Далее существенно используется конечномерность V и связность группы G. Из первого условия следует, что функция при переменном может принимать значения лишь из конечного множества где множество всех «весов» представления Из второго условия следует, что непрерывно зависит от Сопоставляя эти утверждения, заключаем, что не зависит от т. е. для всех Положим

где фиксировано. Мы видим, что V инвариантно в V относительно всей группы следовательно,

Если является коммутатором, то откуда заключаем, что

для всех коммутаторов но тогда и для всех элементов из G. Из связности G и непрерывности заключаем, что Следовательно, где I — единичный оператор в У, и представление коммутативно. Но тогда по лемме Шура V одномерно. Теорема доказана.

Нетрудно видеть, что для связных групп Ли определения равносильны определениям в терминах алгебры Ли. В то же время определения простоты, полупростоты и редуктивности, данные в начале этого параграфа, принято переносить на произвольные (не обязательно связные) группы Ли. Мы сформулируем эти определения также в глобальной форме.

Определение 3. Группа Ли называется простой, если она не содержит ни одного замкнутого связного нормального делителя.

Определение 4. Группа Ли называется полупростой, если она не содержит ни одного замкнутого связного разрешимого нормального делителя.

Определение 5. Группа Ли называется редуктивной, если ее фактор-группа по центру полупроста.

Эквивалентность этих определений определениям, данным в начале параграфа, не очевидна. Действительно, мы видели в § 40, что некоторым подалгебрам в алгебре Ли не соответствуют замкнутые подгруппы в соответствующей группе Ли. Однако можно показать, используя некоторые результаты А. И. Мальцева [109], что в определениях 3, 4 вместо слов «замкнутый нормальный делитель» можно использовать термин «локально замкнутый нормальный делитель» (замкнутый хотя бы в окрестности единицы). В такой формулировке определения 3, 4, очевидно, эквивалентны определениям, данным в начале параграфа. Это следует из взаимно однозначного соответствия между локально замкнутыми подгруппами и подалгебрами в алгебре Ли.

Заметим, что в определении 4 вместо разрешимого нормального делителя можно ограничиться

коммутативными нормальными делителями (см. следствие 2 из теоремы 5). Заметим также, что всякий нормальный делитель в простой связной группе Ли является дискретным и центральным. Действительно, дискретность следует из определения 3; в то же время мы видели в § 5, что в связной группе G всякий дискретный нормальный делитель централен.

Ясно также, что простые и полупростые группы Ли могут иметь только дискретный центр.