§ 9. Полная линейная группа. Основные разложения

Мы отметим в этом параграфе некоторые способы параметризации полной линейной группы Все они связаны с некоторыми мультипликативными разложениями в группе G. С соответствующими

изменениями результаты остаются верными также и для вещественного поля.

А. Полярное разложение. Введем операцию эрмитова сопряжения по формуле где штрих означает транспонирование матрицы а и черта — комплексное сопряжение. Заметим, что

Матрица называется эрмитовой или самосопряженной, если Матрица и называется унитарной, если Матрица называется положительно определенной, если форма

положительно определена. Эрмитова матрица является положительно определенной в том и только том случае, когда все ее собственные значения положительны.

Теорема где множество всех положительно определенных эрмитовых матриц и группа всех унитарных матриц порядка Индивидуальное разложение однозначно.

Доказательство. Если матрица обратима, то матрицы также обратимы (ибо ). Легко проверить, что Следовательно, где (достаточно использовать тот базис, в котором диагональна). Полагая находим

Следовательно, матрица и унитарна и Если матрица допускает какое-либо иное разложение такого типа, скажем то по-прежнему от куда следует, что ввиду однозначности извлечения корня в Следовательно, также Теорема доказана.

Разложение называется полярным разложением. Оно обобщает разложение комплексного числа в произведение модуля на унитарное число вида При переходе к вещественному полю эрмитовость заменяется симметричностью и унитарность — ортогональностью.

В. Разложение Гаусса. Пусть множество всех диагональных матриц из G (относительно фиксированного базиса):

Пусть — соответственно множества всех нижних и верхних треугольных матриц с единицами на главной диагонали:

Все эти множества являются группами. Далее, пусть диагональный минор матрицы составленный из первых строк и первых столбцов. Докажем, что имеет место

Теорема 3. Если миноры матрицы отличны от нуля, то разлагается, причем единственным образом, в произведение вида

Элементы сомножителей выражаются рационально через элементы матрицы Множество открыто и всюду плотно в группе G.

Доказательство. Умножим матрицу справа на и выпишем систему уравнений при

которые выражают нижнюю треугольность матрицы Легко проверить, что детерминант такой системы при фиксированном совпадает с Следовательно, эта система разрешима, и, заменяя х на мы имеем

где матрица является нижней треугольной. Очевидно, всякая такая матрица может быть записана в виде где

Далее, пусть означает минор матрицы составленный из строк с номерами и столбцов с номерами Легко находим по правилу умножения миноров

где Отсюда, в частности, при получается выражение для собственных значений и при выражение для элементов Обозначая минор, стоящим слевз, через находим

Аналогично вычисляя находим где для краткости положено Заметим также, что

где положено

Остается доказать единственность полученного разложения. если то что возможно только в том случае, когда Впрочем, единственность следует также из приведенного выше явного вычисления параметров

Множество получается выбрасыванием из G многообразия меньшей размерности (это многообразие определяется как объединение гиперповерхностей Следовательно, открыто и всюду плотно в G. Теорема доказана.

Разложение теоремы 3 мы будем называть разложением Гаусса (Гаусс использовал его для рекуррентного решения системы линейных уравнений). Заметим, что содержит единичную точку а потому и некоторую окрестность точки Всякую точку мы будем называть регулярной и множество обозначать также символом

С. Разложение Грама. Пусть означает совокупность всех диагональных положительно определенных матриц. Докажем, что имеет место

Теорема 4. . Индивидуальное разложение однозначно.

Доказательство. Согласно критерию Сильвестра всякая положительно определенная матрица содержится в В частности, матрица допускает разложение Гаусса: причем из эрмитовости и единственности разложения Гаусса следуют равенства

Кроме того, матрица является положительно определенной. Следовательно, ее Полагая мы запишем матрицу в виде и положим Тогда имеем

откуда следует, что матрица и унитарна. В результате Единственность этого разложения устанавливается таким же способом, как при доказательстве теоремы 3. Теорема доказана.

Разложение теоремы 4 мы условимся называть разложением Грама. Оно выражает процесс «ортогонализа-ции» произвольной матрицы при помощи треугольного сомножителя Пусть множество всех таких треугольных матриц (с положительными собственными значениями). Тогда мы имеем

Заметим также (это ясно из доказательства теоремы 4), что соответствие между матрицей и тройкой является взаимно непрерывным. Следовательно, группа G как топологическое множество изоморфна прямому произведению

Последнее замечание весьма существенно для уяснения топологической структуры группы G. Действительно, множество изоморфно евклидову пространству. Следовательно, вся сложность топологической структуры «сосредоточена» в группе

Упражнения

(см. скан)