§ 11. Кватернионы

Все линейные группы, рассмотренные в предыдущих трех параграфах, принято называть классическими. Мы покажем, что простейшие из этих групп тесно связаны с геометрией кватернионов.

Пусть четырехмерное пространство над полем комплексных чисел с базисом Введем в

пространстве следующую таблицу умножения

где в последнем равенстве образуют циклическую перестановку чисел 1,2,3. Тогда пространство превращается в ассоциативную алгебру, называемую алгеброй кватернионов.

Для каждого кватерниона введем сопряженный кватернион по правилу хаео — тогда, как легко проверить,

Кватернионы вида мы будем называть скалярами, кватернионы, для которых векторами. Нетрудно проверить, что закон умножения кватернионов сочетается из скалярного и векторного произведений трехмерных векторов.

Мы построим алгебру, изоморфную алгебре кватернионов, если рассмотрим систему матриц Паули:

которые удовлетворяют закону умножения где множитель (в отличие от индекса ) означает умножение на Положим также где единичная матрица, и рассмотрим линейные комбинации

Множество полученных матриц совпадает с алгеброй А всех комплексных матриц . Формулы устанавливают изоморфизм между Заметим также, что

Пространство и алгебру А мы наделяем структурой комплексного евклидова пространства, считая сумму квадратов координат скалярным квадратом вектора х. Пусть произвольные унимодулярные матрицы 2X2. Преобразование

сохраняет т. е. сохраняет скалярный квадрат вектора х. Следовательно, Поскольку матрицы непрерывно связаны с единицей, то в действительности

Используя определение легко проверить, что эта функция осуществляет гомоморфизм

где положено для краткости Покажем, что имеет место

Теорема 5. Функция определяет гомоморфизм на всю группу Ядром гомоморфизма х являются пары и где единичная матрица порядка 2.

Доказательство. Согласно результатам предыдущего параграфа алгебра имеет размерность 3 и алгебра имеет размерность 6. Следовательно, группы обе имеют размерность 6.

Далее, найдем ядро гомоморфизма х. Если то для всех комплексных матриц х. Легко проверить, что это возможно только при Из свойства унимодулярности матриц следует В результате искомое ядро состоит из элементов и

Поскольку ядро дискретно, размерность по-прежнему равна 6. Следовательно, мы имеем вложение двух связных групп одинаковой размерности. Согласно теореме 2 главы I мы можем заключить, что эти группы совпадают. Теорема доказана.

Следствие 1. Группы локально изоморфны, причем первая группа двукратно накрывает вторую.

При помощи теоремы 5 нетрудно получить еще несколько подобных следствий. В частности, положим а тогда получим систему операторов

которые сохраняют не только детерминант, но и след матрицы х. Равенство выделяет в алгебре подпространство инвариантное относительно Ядром гомоморфизма являются матрицы Имеем

Следствие 2. Группа локально изоморфна и дважды накрывает ее.

С другой стороны, рассмотрим группу как подгруппу в группе и ограничим функцию на значения не поскольку то мы имеем

Условие вещественности координат и равенство делают матрицу х произвольной эрмитовой; трехмерное пространство таких матриц инвариантно относительно В результате имеем

Следствие 3. Группа локально изоморфна и дважды накрывает ее.

Заметим, что функция дает чрезвычайно удобную параметризацию группы поскольку Параметры называются параметрами Кзли — Клейна. В отличие от углов Эйлера, эти параметры позволяют наиболее просто выразить закон умножения в

Перейдем теперь к рассмотрению вещественных кватернионов. Полагая все координаты вещественными, мы получаем в алгебре А подалгебру К, элементы которой называются вещественными кватернионами.

Если то согласно формуле имеет обратный в алгебре К. Всякая алгебра, обладающая этим свойством, называется телом. Следовательно, алгебра вещественных кватернионов является телом.

Функция называется нормой кватерниона х. Используя формулу легко получаем, что всякий кватернион может быть представлен в виде

Полученную формулу условимся называть полярным разложением в алгебре К. Заметим также, что сопряжение в К совпадает с эрмитовым сопряжением в классе матриц 2X2.

Всякое линейное преобразование в К, сохраняющее умножение и сохраняющее норму, называется автоморфизмом тела Множество всех автоморфизмов тела К, очевидно, образует группу.

Теорема 6. Всякий автоморфизм тела кватернионов задается формулой Группа всех автоморфизмов тела К изоморфна

Доказательство. Рассуждая, как при доказательстве теоремы 5, заключаем, что всякое собственно ортогональное преобразование тела К может быть записано в виде Если это преобразование сохраняет умножение, то имеем

для произвольных Сокращая обратимые множители , заключаем, что откуда Следовательно, наше преобразование сводится к

Далее, всякое несобственное ортогональное преобразование получается из собственного умножением на единственное отражение в теле К, в качестве которого мы выберем сопряжение Следовательно, искомое преобразование имеет вид Как и прежде, имеем

Заметим, что согласно правилу эрмитова сопряжения. Полагая, в частности, находим, как и выше, что Однако подстановка приводит к противоречию: Следовательно, группа автоморфизмов тела К содержит только собственные преобразования. Теорема доказана.

В заключение рассмотрим векторное пространство размерности над телом кватернионов и для каждой пары векторов

положим

Пусть группа всех линейных преобразований (сумма по над телом кватернионов, сохраняющих форму Легко проверить, что группа G изоморфна при

В частности, группа сохраняющая норму в теле кватернионов, изоморфна

Упражнение

(см. скан)