ГЛАВА I. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ. ГРУППЫ ЛИ

Понятие группы первоначально возникло при изучении конкретных «операций», связанных законом «умножения», или «композиции». Группа относится к числу основных алгебраических структур (алгебра, поле, кольцо и т. д.), наделенных бинарной операцией умножения. Частные случаи этого понятия — главным образом группы преобразований — играют принципиальную роль во многих задачах геометрии и физики.

§ 1. Определение группы

Абстрактное множество G называется группой, если:

(1) для любой пары его элементов определено произведение ассоциативное и, вообще говоря, некоммутативное;

(2) существует единица т. е. элемент, обладающий свойством при любом

(3) для каждого существует обратный элемент

Нетрудно видеть, что единица определяется аксиомой (2) однозначно. Действительно, если единицы, то их произведение должно совпадать как так и откуда Далее, поскольку умножение некоммутативно, можно было бы вместо (3) отдельно ввести понятия левого и правого обратного элемента; однако если уравнение разрешимо при любом то, умножая его справа на х и слева на у, для которого находим следовательно, элемент х

является также и правым обратным для При том же предположении легко проверить, что левая единица является также и правой единицей, а также что определяется однозначно. Действительно, если то также откуда

С конкретными примерами групп мы часто встречаемся в приложениях, особенно в геометрии. Обычно элементами группы являются некоторые однотипные операции, а произведение состоит в применении операции и затем операции единица соответствует состоянию неизменности.

Примеры.

1. Группа вращений окружности. Каждое вращение задается углом

2. Группа сдвигов на прямой. Каждый сдвиг задается вещественным числом

3. Группа вращений сферы в трехмерном евклидовом пространстве. Каждое вращение может быть задано, например, тремя углами Эйлера. В отличие от первых двух групп, эта группа некоммутативна (проверьте).

4. Группа всех унитарных операторов в гильбертовом пространстве

5. Группа всех подстановок над элементам и.

Последняя группа конечна, т. е. содержит лишь конечное число элементов. Первые две группы коммутативны, или абелевы. Если (размерность пространства бесконечна), то группа в примере 4 не может быть естественным образом параметризована с помощью конечного числа вещественных параметров. Подобные группы, как правило, мы в этой книге рассматривать не будем.

Становясь на абстрактную точку зрения, мы интуитивно интерпретируем группу как некое точечное множество, конечное или бесконечное, иногда допускающее аналитическое описание. Групповая операция умножения дает нам при этом возможность рассматривать в

самой группе G естественные преобразования, порождаемые элементами из G. Мы приводим ниже основные типы таких преобразований; при этом, как уже было сказано, группа G одновременно выступает в качестве преобразуемого множества и также в качестве группы преобразований.

I. Левый и правый сдвиги (трансляции):

Замечательным свойством группового сдвига (левого или правого) является его транзитивность. Это означает, что с помощью сдвига можно любую точку перевести в любую точку Действительно, это следует без труда из аксиомы (3).

II. Инверсия: Заметим, что инверсия

няет местами левые и правые сдвиги. Действительно,

III. Внутренние автоморфизмы:

Автоморфизмом группы G называется всякое взаимно однозначное преобразование множества сохраняющее умножение. В частности, если положим то имеем т. е. преобразование а действительно является автоморфизмом. Такой автоморфизм называется внутренним, поскольку порождается элементом О.

Если группа G коммутативна, то в ней, очевидно, отсутствует различие между левыми и правыми трансляциями, а внутренние автоморфизмы вырождаются (т. е. для всякого Для записи закона умножения в коммутативной группе иногда используется знак сложения при этом символ единицы заменяется символом 0. Примером является обычная группа действительных чисел по сложению.

Всякое подмножество замкнутое относительно умножения и взятия обратного элемента, называется подгруппой в группе G. Иначе говоря, если то также Отсюда легко заключить, что Следовательно, если рассматривать умножение

только в пределах множества то это множество само оказывается группой.

Если произвольные подмножества в то условимся использовать обозначение для множества всех произведений вида Символом обозначим инверсный образ множества А, т. е. совокупность всех элементов Наконец, если то символами обозначим «левоконгруентное» и «правоконгруентное» множества в получаемые из А с помощью левого и правого сдвига на соответственно.

Подгруппа называется инвариантной, если она инвариантна по отношению ко всем внутренним автоморфизмам в т. е. если для всякого Умножая обе части слева на и справа на получаем обратное включение: для всякого G. В результате имеем

Инвариантные подгруппы в G называются также нормальными делителями в G.

Замечание 1. В примерах 1 и 2, приведенных в этом параграфе, группа G как множество идентична преобразуемому пространству. В примере 3 это не так, поскольку число углов Эйлера превосходит число параметров на сфере (широта и долгота); это является выражением того обстоятельства, что каждая точка на сфере может быть получена бесконечным (но однопараметрическим) числом способов из некоторой фиксированной точки, скажем из северного полюса Более подробный анализ таких соотношений будет изложен ниже, в § 17.

Замечание 2. Наличие трансляций позволяет нам заключить, что группа как множество обладает важным свойством «однородности». Это свойство, которое в дальнейшем будет описано более точно, используется обычно при внесении в группу G различных алгебраических или аналитических конструкций (метрика, объем, понятие

производной). При этом, имея в виду трансляции, оказывается достаточным вести основные построения в какой-либо одной фиксированной точке, скажем в единичной точке

Упражнения

1. Проверить, что определение подгруппы символически может быть записано в виде

2. Пусть группа всех движений в евклидовом пространстве подгруппа параллельных переносов. Проверить, что является нормальным делителем в G.