§ 3. Индуцированные представления

Прежде чем приступить к дальнейшему изложению теории, остановимся на рассмотрении специального типа представлений, называемых индуцированными. Пусть X — однородное пространство с группой движений причем действие элемента на точку обозначается символом Рассмотрим линейный оператор Те, действующий в пространстве функций на X по формуле

Для того чтобы семейство операторов Те являлось представлением группы необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

Найдем общее решение этого функционального уравнения. Фиксируем некоторую точку и положим для краткости

Тогда согласно функция удовлетворяет функциональному уравнению

для произвольных элементов где стационарная подгруппа точки Далее, выберем для каждой точки элемент переводящий Тогда всякий элемент однозначно запишется в виде и мы имеем в силу

Отсюда видно, что функция может быть выражена через функцию

Представим элемент в виде где Тогда из последнего соотношения имеем также

Полученная формула дает общий вид решения Используя преобразование эквивалентности мы можем заменить представление эквивалентным представлением При этом

и функция удовлетворяет условию Следовательно, в этом случае мы имеем где как и прежде, определяется разложением

Функция является, согласно представлением группы Принято говорить, что представление группы G индуцируется представлением подгруппы Все изложенные выше построения сохраняют силу также в том случае, когда вектор-функции со значениями в некотором векторном пространстве линейные операторы в Предста вление при этом по-прежнему называется индуцированным. Если то такое представление иногда называют мономиальным.

Условие неприводимости необходимо, но недостаточно для неприводимости Действительно, в добавлении мы имели дело с элементарными представлениями полупростой комплексной группы G. Все они мономиальны, т. е. представление одномерно и потому неприводимо. Однако мы видели, что элементарное представление может быть приводимым. Заметим, кстати, что роль группы играет в этом случае максимальная разрешимая подгруппа в G.

Как мы знаем из основного текста (§ 17), однородное пространство X можно отождествить с фактор-пространством где стационарная подгруппа фиксированной точки Можно также отождествить пространство X с множеством точек-представителей Используя разложение будем вместо функций рассматривать функции Все эти функции, очевидно, удовлетворяют соотношению

при любых значениях Пусть множество всех таких функций на группе О. Преобразование правого сдвига образует представление в которое, как легко проверить, эквивалентно исходному представлению Следовательно, мы получаем еще одну реализацию индуцированных представлении (которой уже неоднократно пользовались в основном тексте).

До сих пор мы не накладывали никаких ограничений на пространство функций, в котором действует индуцированное представление. Однако в приложениях это постоянно приходится делать, причем произвол в определении такого пространства довольно широк (например, дифференцируемые функции или функции класса I? в условиях добавления I). Если на X существует мера такая, что с конечным якобианом (такая мера называется квазиинвариаптной), то условие

где черта означает комплексное сопряжение, позволяет построить унитарное представление группы G с помощью формулы индуцированного представления. Для этого надо ограничиться классом всех функций интегрируемых с квадратом по мере (Несложная проверка предоставляется читателю.) Здесь мы предполагаем, что числовая функция, однако если гильбертово пространство, то условие этого добавления сохраняется, с заменой черты на эрмитово сопряжение. В этом случае

где нормирующий множитель и представление группы унитарно. Обычно, имея дело с унитарными представлениями, говорят, что представление индуцируется представлением (а не как принято в нашем тексте). Однако если мера инвариантна то

Конструкция индуцированных представлений часто используется для построения явных моделей неприводимых представлений той или иной группы G. Большинство известных математикам неприводимых представлений классических групп Ли являются индуцированными и даже мономиальными.