§ 50. Произведение Юнга

Условимся использовать наряду с обозначением также обозначение для сигнатуры где положено При этом все параметры являются целыми неотрицательными. Следовательно, множество всех сигнатур порождается векторами

(с единицей на месте) относительно сложения. Неприводимые представления мы условимся называть базисными представлениями группы Выясним геометрическую структуру каждого из этих представлений.

Пусть антисимметричный тензор ранга . В силу условия антисимметричности мы получим полную систему независимых координат, если положим Пусть соответствующий базисный вектор (т. е. тензор, у которого отлична от нуля только одна независимая координата ). Вектор является весовым с весом

В силу условия все такие веса различны. Следовательно, всякий старший вектор должен совпадать с одним из элементов Однако условию упорядоченности сигнатуры удовлетворяет лишь единственный вес

Соответствующая сигнатура определяется равенствами при т. е. совпадает с символом определенным выше. Следовательно, тензор неприводим и соответствующая сигнатура совпадает с

Антисимметричные тензоры ранга называются поливекторами. Очевидно, поливектор ранга определен только при (Если , то тензор обращается тождественно в нуль в силу условий антисимметрии.) Таким образом, базисное представление отождествляется с поливектором ранга

Из строения произвольной сигнатуры ясно, что всякое представление может быть определенным образом построено из базисных представлений Ясно, что искомая конструкция не сводится к тензорному произведению, ибо тензоры, как правило, приводимы. Для ответа на поставленный вопрос мы используем операцию умножения в классе функций на группе G (либо также на подгруппах

Пусть пространство неприводимого представления в одной из функциональных реализаций, описанных выше. Введем обозначение для линейной оболочки всех произведений вида Докажем, что имеет место

Теорема 5. .

Доказательство. Рассмотрим, например, реализацию на группе G (во всех остальных случаях доказательство аналогично). Тогда пространство

натянуто на функции

Отсюда очевидно, что оно инвариантно относительно Ясно также, что конечномерно. В то же время натянуто на функции

и потому является подпространством в Осталось доказать, что последнее пространство неприводимо. Поскольку все функции из этого пространства удовлетворяют соотношениям

то они вполне определяются своими значениями на Z. Поскольку операция сводится к правому сдвигу на Z, то единственной функцией удовлетворяющей условию является (с точностью до множителя) Из единственности старшего вектора заключаем, что неприводимо. Теорема доказана.

Полученный результат показывает, что операция умножения в классе функций на группе G является искомой операцией, заменяющей тензорное произведение.

Определение 2. Представление мы будем называть произведением Юнга представлений и использовать для этого произведения символ

Абстрактное множество, удовлетворяющее всем аксиомам группы, кроме наличия обратного элемента, принято называть полугруппой. В терминах произведения Юнга результат произведенной классификации можно выразить следующим образом:

Следствие. Множество всех неприводимых аналитических представлений группы является полугруппой с образующими где поливектор ранга

Заменяя на мы должны добавить две образующие: ибо показатель может быть положительным и отрицательным. Если рассматривать

вещественные представления то число образующих удваивается за счет добавления комплексно сопряженных представлений Если рассматривать вещественные представления то полугруппа представлений перестает быть дискретной, ибо множители входят необязательно с целыми показателями.

В дальнейшем мы увидим, что представление содержится в тензорном произведении где множитель встречается раз. При этом содержится в таком произведении однократно и сигнатура а является старшей среди всех остальных сигнатур, входящих в это произведение (относительно лексикографической упорядоченности). Отсюда вытекает возможность иного определения произведения Юнга.

Упражнение

(см. скан)

Глобальный метод, которому мы следовали в этой главе, впервые был предложен Годеманом [74]. Однако функциональная реализация представлений (на группе Z, на группе была введена еще раньше в фундаментальной работе И. М. Гельфанда и М. А. Наймарка [68] по теории бесконечномерных представлений. Изложение в этой главе следует статье автора [84], где развивается метод Годемана. Свойство мультипликативности пространств было впервые отмечено автором в работе [85].

В дальнейшем мы значительно уточним описание канонической модели представления и обобщим эти результаты на конечномерные представления произвольной связной группы Ли (гл. XVI). В следующей главе будет изложена классическая конструкция представлений в классе тензоров; там же будут указаны еще и другие модели