§ 102. Максимальные торы

В этом параграфе мы рассмотрим некоторые свойства торов (коммутативных связных подгрупп) в произвольной компактной связной группе Ли. Докажем вначале, что имеет место

Теорема 8. Всякий элемент компактной связной группы Ли содержится в некоторой однопараметрической подгруппе.

Следствие. Если компактная связная группа Ли, то экспоненциальное отображение накрывает всю группу G.

Доказательство. Ради сокращения текста воспользуемся некоторыми результатами из теории римановых пространств. Рассмотрим группу G как замкнутую подгруппу в и введем в линейное пространство матриц метрику

где означает дифференциал переменной матрицы и звездочка означает эрмитово сопряжение. Если то мы имеем

и то же верно при умножении слева на . Следовательно, метрика является двусторонне инвариантной на в частности, на группе G. Поскольку группа G является вещественным дифференцируемым (и даже аналитическим) многообразием в то G является римановым пространством. Функция

где длина спрямляемой линии берется по всем таким линиям, соединяющим определяет метрику в пространстве является относительно этой метрики компактным метрическим пространством.

Как известно, в компактном римановом пространстве через любые две точки можно провести хотя бы одну геодезическую. Если при достаточно малом , то геодезическая, проходящая через определяется однозначно. Рассмотрим теперь преобразование

с фиксированной точкой Согласно свойству двусторонней инвариантности и равенству переход от к а сохраняет метрику. В частности, точка остается неподвижной, откуда Преобразование а называется симметрией относительно точки

Если а достаточно близко к то все три точки а лежат на одной геодезической.

Приступим теперь к доказательству теоремы. Фиксируем точку и проведем геодезическую у, соединяющую Покажем вначале, что существует однопараметрическая подгруппа содержащая все точки отрезка у, достаточно близкие к

Пусть настолько близко к что через проходит однопараметрическая подгруппа является

единственной геодезической, соединяющей Если уже доказано, что пара точек содержится в у, то мы рассматриваем точку и замечаем, что имеет место формула

Полагая, в частности, заключаем, что симметрия относительно переставляет Следовательно, лежит на геодезической, проходящей через Следовательно, Нормируем теперь параметр таким образом, чтобы Применяя индуктивно предыдущее рассуждение, заключаем, что у содержит все точки где двоично-рационально. Ввиду непрерывности содержит также весь отрезок Наше утверждение доказано.

Заметим, что точка симметрична точке относительно Продолжая кривую и геодезическую у на отрицательные значения заключаем, что у содержит также отрезок вида

Далее, рассмотрим множество всех точек, принадлежащих одновременно где достаточно большое число. Поскольку это множество замкнуто (как пересечение двух замкнутых множеств), то его связная компонента у, содержащая точку имеет вид отрезка при некотором Положим Если то теорема доказана. Если то мы осуществляем левую трансляцию во всей группе G. Поскольку всякая трансляция переводит геодезическую в геодезическую, то, в частности, кривая является геодезической, проходящей через точку Выбирая на этой кривой точку достаточно близкую к заключаем, как и выше, что у содержит отрезок некоторой однопараметрической подгруппы Поэтому у содержит отрезок кривой

Следовательно,

при достаточно малых и при некоторых значениях В частности, откуда заключаем, что Следовательно, совпадает с с точностью до замены (аддитивного) параметра. Поэтому не является крайней точкой множества у, что противоречит определению В результате заключаем, что Теорема доказана.

Замечание 1. Из доказательства теоремы 8 мы получаем также замечательное соответствие между геодезическими и однопараметрическими подгруппами в группе G. Всякая однопараметрическая подгруппа есть геодезическая, проходящая через точку Всякая геодезическая получается (левой или правой) трансляцией из однопараметрической подгруппы в группе G.

Замечание 2. Теорема 8 может быть доказана непосредственно, без использования свойств симметрии, если показать, что длина кривой, соединяющей точки » минимизируется только на однопараметрической подгруппе. См., например, [15].

Рассмотрим теперь произвольные торы в группе G. Напомним, что тором называется всякая связная коммутативная компактная группа Ли. Тор в группе G называется максимальным, если он не содержится ни в каком другом торе из G (отличном от Докажем, что имеет место

Теорема 9. Пусть компактная связная группа Ли и ее максимальный тор. Тогда для любого элемента найдется элемент для которого

Доказательство. Согласно теореме где А — алгебра Ли группы G. Рассмотрим произвольный элемент неб и положим где — фиксированный элемент из X и скобка означает скалярное произведение в X, относительно которого операторы кососимметричны. Положим

и заметим, что

где Действительно, операторы ортогональны относительно формы , и оператор можно перебросить налево, заменяя на Далее, имеем

Заметим теперь, что функция является дифференцируемой (и даже аналитической) на G. Поскольку группа G компактна, то согласно теореме Вейерштрасса, достигает максимума на G. Если точка максимума, то при Следовательно, в этом случае тождественно по Следовательно,

Пока еще в нашем распоряжении имеется произвол в выборе элемента Выберем у таким образом, чтобы однопараметрическая подгруппа была всюду плотной в торе Тогда мы имеем

для всех Следовательно, также для всякого где алгебра Ли тора Поскольку максимальный тор, алгебра является максимальной коммутативной подалгеброй в Следовательно, Следовательно, также где Теорема доказана.

Следствие 1. Любые два максимальных тора сопряжены в группе G.

Действительно, пусть максимальный тор и его иррациональная образующая, т. е. элемент, степени которого образуют всюду плотное множество в Тогда элемент является образующей в максимальном торе Поскольку для всякого максимального

тора найдется такой элемент и, что то и любой максимальный тор сопряжен

Следствие 2. Любые две максимальные коммутативные подалгебры в компактной алгебре X сопряжены относительно внутреннего автоморфизма.

Доказательство вытекает из очевидного соответствия между максимальными торами и максимальными коммутативными подалгебрами в Всякая такая подалгебра в компактной алгебре X называется подалгеброй Картана. Соответственно всякая максимальная коммутативная (не обязательно связная) подгруппа в компактной связной группе G называется подгруппой Картана.

Следствие 3. Всякая подгруппа Картана является связной и определяется однозначно с точностью до сопряженности.

Действительно, пусть подгруппа Картана и ее связная компонента единицы. Если то при некотором натуральном (поскольку группа конечна). Если минимальное из таких чисел, то элементы содержатся в различных связных листах группы Рассмотрим элемент

где определяется тем условием, что является иррациональной образующей в Тогда нетрудно видеть, что является образующей в группе порожденной элементами Если максимальный тор, содержащий то Следовательно, откуда ввиду максимальности тора Следовательно,

Замечание 3. Из связности картановской подгруппы в компактной подгруппе и разложения Ивасавы мы получаем также связность картановской подгруппы в произвольной связной полупростой (и также редуктивной) группе G. Действительно, где максимальная односвязная подгруппа в с алгеброй Ли (см. § 101) и максимальный тор в подгруппе Следовательно, мы получаем иное доказательство заключительной части теоремы 6.

Заметим также, что всякая подгруппа Картана содержит центр группы следовательно, центр содержится в любом максимальном торе.