§ 34. Теория представлений конечных групп

Всякая конечная группа, очевидно, является компактной; следовательно, вся предыдущая теория применима к этому частному случаю. (Все доказательства, лежащие в основе этой теории, можно было бы повторить применительно к этому случаю, заменяя интегралы суммами.) Однако теория конечных групп и их представлений обладает и своими индивидуальными «арифметическими» особенностями.

Прежде всего, из глобальной теоремы непосредственно вытекает

Теорема 4 («1-я теорема Бернсайда»). Если конечная группа G имеет порядок то имеет место равенство

где размерности всех неприводимых (попарно неэквивалентных) представлений группы G.

Действительно, групповая алгебра представляет собою в этом случае линейное пространство размерности и разложение

дает искомое выражение для размерности, поскольку заменяет обозначение из § 30). В действительности это разложение содержит значительно большую информацию об изоморфизме между групповой алгеброй и вполне приводимой «блок-алгеброй», состоящей из полных матричных блоков размерностей Далее следует

Теорема теорема Бернсанда»). Если число всевозможных попарно неэквивалентных неприводимых представлений группы то

где число всевозможных классов сопряженных элементов в группе конечная группа).

Для доказательства этой теоремы рассматривается центр групповой алгебры 3, который, как мы знаем, состоит из всевозможных функций, постоянных на классах сопряженных элементов, т. е. представляет собой в данном случае линейное пространство размерности х. Поскольку всякая такая функция разлагается по характерам то

где одномерное пространство натянуто на характер и мы заключаем отсюда, что Теорема доказана.

В дальнейшем мы увидим, что все такие «арифметические» закономерности сохраняются в известном смысле и для произвольной компактной группы Ли, однако при этом они приобретают «аналитическое» содержание (вместо числа элементов группы или классов сопряженных элементов рассматриваются размерности соответствующих аналитических многообразий).

Пример. Симметрическая группа Введенное обозначение мы будем использовать для группы всех подстановок, производимых над «предметами». Условимся считать, что данные предметы размещены на занумерованных местах и символ

обозначает подстановку, которая состоит в перемещении предмета с места 4 на место (движение вниз); из этого соглашения следует, что порядок расположения пар в символе для нас не имеет значения, а закон умножения в группе

напоминает закон умножения матриц (все индексы встречающиеся сверху и снизу, «сокращаются»). Известно, что всякая подстановка допускает разложение в произведение циклов

где каждый цикл определяется как частичная подстановка

которая производится над предметами, стоящими на местах Всякий внутренний автоморфизм

в группе перемещает, очевидно, номера стоящие в отдельных циклах, но не меняет длину циклов и их число. Условившись считать, что длины циклов расположены в порядке убывания;

(f - число циклов), мы можем заключить, что всякий набор таких чисел однозначно нумерует произвольный класс сопряженных элементов в группе Следовательно, число таких классов совпадает с числом всевозможных разбиений числа в сумму невозрастающих натуральных чисел. Следовательно, согласно второй теореме Бернсайда, каждое неприводимое представление группы может быть однозначно занумеровано указанным набором чисел . К более подробному рассмотрению таких представлений мы еще вернемся в § 55.

Заметим, что группа допускает точное линейное представление с помощью преобразований в линейном пространстве размерности которые определяются по правилу

в произвольном фиксированном базисе (здесь использовано одинаковое обозначение для подстановки

и соответствующего ей линейного преобразования Очевидно, при этом матрицы могут быть охарактеризованы как всевозможные матрицы, у которых в каждой строке и в каждом столбце содержится по единственному элементу, равному единице, а все остальные элементы равны нулю.

Теорема о точном линейном представлении для конечной группы доказывается тривиально, поскольку уже регулярное представление этой группы (левое или правое) является конечномерным и точным. Однако, анализируя

это представление, мы получаем в действительности более сильное утверждение:

Теорема 6. Всякая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе в симметрической группе

Действительно, записывая элементы в виде линейных комбинаций

мы рассматриваем точки как базисные векторы в пространстве Следовательно, правые сдвиги

мы можем рассматривать как преобразование базиса в пространстве и продолжить их до линейного преобразования

во всем пространстве Поскольку точка пробегает (при фиксированном все элементы группы G точно по одному разу, то полученное линейное преобразование является оператором подстановки. Теорема доказана.

Предлагается в качестве упражнений доказать самостоятельно следующие утверждения:

1. Если все неприводимые представления конечной группы G одномерны, то группа G коммутативна. (Указание: использовать вторую теорему Бернсайда.)

2. Всякая коммутативная конечная группа изоморфна прямому произведению нескольких циклических групп (циклическая группа порядка определяется как группа корней степени из единицы).

В частности, первое из этих утверждений замечательно в том отношении, что является примером информации, даваемой системой всех неприводимых представлений группы G относительно структуры самой группы G (идея двойственности, см. § 23).