§ 66. Алгебра Z-мультипликаторов и задача о сужении с группы на подгруппу

Реализация на группе Z позволяет нам использовать новую алгебраическую операцию — умножение в классе полиномов для изучения структуры неприводимого представления Так, в частности, еще в гл. VII мы доказали следующее мультипликативное свойство:

для пространств составленных из полиномов в которых реализуются неприводимые представления Здесь сигнатура а вычисляется по правилу сложения векторов Линейные связи между

функциями из автоматически учитывают структуру произведения Юнга.

Однако, даже если фиксировать сигнатуру а, операция умножения на группе Z приводит к новому естественному методу изучения внутренней структуры Действительно, напомним, что в всегда содержится вектор который является старшим вектором с весом Записывая всякий полином формально в виде

мы получаем, что операция умножения на может рассматриваться как «понижающая» операция. Действительно, эта операция аналогична применению некоторого полинома от инфинитезимальных операторов алгебры понижающих вес. Оператор умножения на мы условимся называть Z-мультипликатором.

Рассмотрим, в частности, мультипликатор где один из матричных элементов матрицы Пусть полином имеет вес . Согласно общей формуле для мы имеем

Иначе говоря, функция удовлетворяет следующему тождеству:

Заменим функцию функцией гцср При умножении матрицы слева на и справа на элемент гц заменяется элементом Следовательно, функция также удовлетворяет тождеству с заменой веса весом

Если записывать вес в виде то соответствующий вектор показателей

мы будем называть инфинитезимальным весом. Умножение на равносильно добавлению к этому вектору хорошо известного нам «корня» алгебры X:

Полученный результат сформулируем в виде следующего правила:

Правило 1. Мультипликатор в классе полиномов приводит к добавлению корня

к каждому инфинитезимальному весу т. е. к умножению веса на множитель

В общем случае мы условимся называть мультипликатор весовым, если множитель условимся называть весом этого мультипликатора. В частности, согласно правилу 1 мультипликатор является весовым с весом Очевидно, это определение не зависит от старшего веса а однако, если мы находимся в пространстве надо следить, чтобы умножение на не выводило за пределы этого пространства; в результате получаем

Правило 2. Границы действия мультипликаторов и полиномов от них в пространстве определяются индикаторной системой .

Так, в простейшем случае мы имеем единственный мультипликатор (с весом ), и его применение к старшему вектору приводит к базисной цепочке одночленов

которая ограничена индикаторной системой

В общем случае, разумеется, не исключено, что применение мультипликатора или одночлена от этих мультипликаторов запрещается, но возможно применение некоторых полиномов Так, если базисное представление то допустимыми

являются только мультипликаторы

и их всевозможные линейные комбинации. Короче говоря, значение всех допустимых мультипликаторов равносильно описанию пространства Однако терминология -мультипликаторов оказывается удобной при построении весового базиса в пространстве

Прежде чем рассматривать весовые базисы, мы займемся решением следующей более легкой задачи. Пусть дано неприводимое представление с сигнатурой Рассмотрим в группе подгруппу изоморфную и составленную из матриц вида

Если рассматривать операторы только при мы получим представление группы которое обозначим и назовем сужением на подгруппу Ясно, что это представление уже не обязано быть неприводимым, и, естественно, возникает задача о его разложении на неприводимые.

Для решения этой задачи мы используем стандартный метод Z-инвариантов. Пусть пересечение т. е. совокупность всех матриц вида

Нетрудно видеть, что всякая матрица из Z единственным образом записывается в виде произведения где матрица из Z, имеющая следующий вид:

единичная матрица порядка и -произвольный вектор-столбец с координатами

Мы можем рассматривать координаты как параметры во всей группе Z.

Согласно общей схеме Z-инвариантов всякий старший вектор для является решением следующего уравнения:

где пробегает подгруппу Используя введенную параметризацию в группе Z, мы получаем отсюда

т. е. всякий -инвариант зависит только от Очевидно, и обратно, всякая функция, зависящая только от является -инвариантом. Докажем теперь, что имеет место

Лемма 4. Всякий старший вектор относительно в пространстве имеет вид

где - произвольные неотрицательные целые показатели, удовлетворяющие ограничениям

Доказательство. Заметим, что следовательно, мультипликатор имеет вес

Но тогда мультипликатор имеет вес

и все такие веса различны. Следовательно, всякий искомый старший вектор может отличаться лишь скалярным множителем от одного из этих одночленов. Если — главный сдвиг на группе Z, то мы, очевидно, имеем

Поскольку умножение на перестановочно с дифференцированием по индикаторная система

принимает вид

Если то это равносильно ограничениям для одночлена Лемма доказана.

Полагая (случай группы и умножая старший вес на вес мультипликатора находим, что старший вектор имеет вес

При доказательстве леммы 4 нам было удобно записывать сигнатуру а в виде где Подставляя эти выражения в ограничения приходим к условиям

для показателей найденного веса Иначе говоря, записывая этот вес в виде мы приходим к цепочке соотношений

Сформулируем окончательный результат в виде следующей теоремы:

Теорема 2. Сужение содержит ровно по одному разу все неприводимые представления группы с сигнатурами где произвольные целые числа, заключенные в пределах

Подпространство в котором действует может быть определено как циклическая оболочка своего

старшего вектора

Если в введено скалярное произведение, относительно которого представление унитарно, то подпространства взаимно ортогональны относительно этого скалярного произведения.

Доказательство. Первая часть теоремы уже доказана. Для вычисления явного вида старшего вектора при достаточно заметить, что

т. е. что столбец параметров совпадает с последним столбцом матрицы 2. Наконец, если рассматривать аналитическое представление только на компактной подгруппе то оно унитарно, и из однократности каждой неприводимой компоненты для следует взаимная ортогональность подпространств Теорема доказана.

Замечание. Если бы вместо подгруппы мы рассматривали подгруппу матриц вида а

то, очевидно, результаты остались бы прежними, с той разницей, что каждому старшему вектору приписывался бы вес вида

где Здесь Это очевидно из предыдущих построений.

Упражнения

(см. скан)