§ 9. О полуприводимых представлениях

При исследовании элементарных представлений обнаружилась еще одна любопытная особенность бесконечномерных неунитарных представлений группы О. Оказалось, что в классе этих представлений теряет силу теорема Вейля о полной приводимости.

Действительно, мы видели в § 4, что представление группы Лоренца с положительной целой точкой а содержит инвариантным образом конечномерное представление и фактор-представление эквивалентно при некотором Оказывается, что невозможно представить в виде прямой суммы представлений Этот результат является частным следствием теоремы типа Пэли — Винера, впервые полученной автором [86] для группы Лоренца (см. также [82], [87]).

Точно так же и в случае произвольной полупростой комплексной группы G элементарное представление в вырожденных точках имеет довольно сложную «ступенчатую» структуру. В пространстве такого представления существует лишь конечное число инвариантных подпространств. Если максимальная цепочка таких подпространств (определяемая, вообще говоря, неоднозначно), то представление в каждом фактор-пространстве эквивалентно одному из минимальных представлений группы G.

В статье [87] была предпринята попытка исследовать все полуприводимые представления группы Лоренца, имеющие «конечную ступенчатую структуру», т. е. содержащие лишь конечное число неприводимых компонент. С помощью теоремы Пэли — Винера эта задача была сведена к некоторой задаче линейной алгебры, окончательное решение которой было получено в недавней работе И. М. Гельфанда и В. А. Пономарева [69].

Значительно более сложной является теория бесконечномерных представлений (даже унитарных) для полупростой вещественной группы Ли. Мы не имеем возможности в рамках данной книги остановиться сколько-нибудь подробно на обзоре этой теории.