§ 16. Терминология теории представлений

1. Как уже было сказано, представлением группы G в линейном пространстве V называется гомоморфное отображение этой группы в группу обратимых линейных преобразований пространства Следовательно, каждому элементу ставится в соответствие линейный оператор действующий в пространстве V, причем

где единичный оператор в Если группа G топологическая, то при этом требуют также, чтобы операторная функция непрерывно зависела от Если V бесконечномерно, то в этом определении необходимо уточнить, какая именно топология в пространстве операторов имеется в виду. О важнейших примерах представлений было сказано в предыдущем параграфе.

Заметим, что определение операторной функции естественно рассматривать как обобщение функционального уравнения для экспоненты. Некоторые группы обладают числовыми экспонентами, например, для полной линейной группы Однако если в этой группе рассмотреть подгруппу для элементов которой то, как увидим, такая подгруппа уже не имеет числовых экспонент, за исключением тривиального случая Однако у этой группы имеется серия матричных экспонент (тензоры), с рассмотрения которых исторически и началось развитие теории представлений. Кроме того, у этой группы имеется серия бесконечномерных представлений, не сводящихся к тензорам.

Размерность пространства, в котором действует представление, называется также размерностью этого представления. Поскольку в этой книге мы преимущественно будем рассматривать представления в пространствах конечной размерности, то для краткости нам будет удобно понимать под словом «представление» только «конечномерное представление». Это соглашение связано с традицией, но не всегда приемлемо в современной литературе, где часто рассматриваются бесконечномерные представления. Все случаи бесконечномерных представлений нам придется оговаривать особо.

2. Два представления считаются эквивалентными, если существует взаимно однозначное линейное соответствие, переводящее т. е. если

где - линейный обратимый оператор, отображающий пространство представления на пространство представления Очевидно, эквивалентные представления имеют одинаковую размерность. Если оба они определены в одном и том же пространстве, то матрицы переходят друг в друга при замене базиса.

3. Вектор называется инвариантным, если для всех Подпространство называется инвариантным, если векторы из переходят в векторы из т. е. если Заметим, что последнее условие можно также записывать в виде (ввиду обратимости ). Подпространство называется нетривиальным, если оно отлично от и от пространства

4. Если имеется инвариантное подпространство то существенно выяснить, допускает ли оно инвариантное дополнение, т. е. можно ли представить V в виде прямой суммы

где также инвариантно. В этом случае произвольная матрица может быть записана в виде двух независимых блоков:

если испэльзовать базис, приуроченный к Операторы определяют соответственно представления в называемые компонентами представления Представление называется в этом случае прямой суммой представлении В общем случае может быть приведено только к квазитреугольному виду

относительно базиса, приуроченного к где инвариантно и При этом звездочка означает прямоугольный матричный блок, элементы которого являются функциями от

Представление называется приводимым, если хотя бы одно нетривиальное инвариантное подпространство существует. Представление называется вполне приводимым, если всякое инвариантное подпространство имеет инвариантное дополнение. Представление называется неприводимым, если инвариантны только

Не представляет труда проверка следующих простых утверждений. В пространстве всякого представления содержится хотя бы одно неприводимое подпространство. Отсюда заключаем (путем последовательной редукции), что всякое представление может быть записано в квазитреугольном виде с неприводимыми диагональными блоками. Представление вполне приводимо тогда и только тогда, когда оно записывается в виде прямой суммы конечного числа неприводимых представлений.

Представление называется кратным представлению если оно может быть записано в виде прямой суммы конечного числа представлений, эквивалентных Символически пишем где кратность вхождения Заметим, что это разложение существенно неоднозначно. В то же время, если где плюс означает прямую сумму, и если неприводимые взаимно неэквивалентные представления, то такое разложение на компоненты уже является однозначным. Доказательство всех этих утверждений предоставляется читателю.

5. Два представления действующие в пространствах называются контрагредиентными, если существует невырожденная билинейная форма инвариантная по отношению к совместному действию этих представлений:

Невырожденность означает, что для любого найдется такой, что и то же верно, если поменять местами х и Пространства имеют в этом случае одинаковую размерность и их возможно отождествить. При подходящем выборе базиса форма диагонализустся и условие контрагредиентности принимает вид

Здесь штрих означает переход к транспонированной матрице по отношению к выбранному базису. Если интерпретировать V как пространство гиперплоскостей пространства V (проходящих через начало координат), то принадлежность вектора х гиперплоскости равносильна принадлежности вектора гиперплоскости

Примером контрагредиентных представлений являются преобразования в классе ковариантных и в классе контравариантных тензоров одного и того же ранга

6. Представление называется тензорным произведением представлений если

для всех (определение символа было дано в § 14). Заметим, что тензорное произведение двух линейных пространств изоморфно пространству прямоугольных матриц размерности где Если х и у — координатные столбцы из то вместо мы можем формально писать где штрих означает транспонирование. Отсюда ясно, что

Полученная формула при произвольной матрице размеров дает явный вид представления который часто оказывается удобным для вычислений.

7. В дополнение к введенным выше основным понятиям теории представлений мы введем еще некоторые термины, которые будут иногда использоваться в дальнейшем. Если представление неприводимо в пространстве V, то также говорят, что V неприводимо относительно Если где -линейный оператор из пространства представления в пространство представления то А называется переплетающим оператором для пары В частности, если А обратим, то представления эквивалентны. Представление называется унитарным, если операторы унитарны при каждом

Следующее простое утверждение будет играть принципиальную роль во многих дальнейших построениях.

Теорема 1. Всякое унитарное представление вполне приводимо.

Доказательство. Пусть скалярное произведение, относительно которого унитарно. Тогда для всякой пары векторов Покажем, что если инвариантное подпространство, то его ортогональное дополнение также инвариантно. В самом деле, если то имеем

ибо содержится в вместе с у. Мы видим, что для всякого вектор также содержится в Следовательно, инвариантно. Следовательно, всякое инвариантное подпространство имеет инвариантное дополнение. Теорема доказана.

Замечание. Теорема 1 (вместе с доказательством) сохраняет силу также для бесконечномерного представления

В заключение рассмотрим несколько простых примеров приводимых представлений.

Пример 1. Всякий тензор однозначно записывается в виде суммы симметричного и

антисимметричного тензоров:

Подпространства этих тензоров инвариантны. Следовательно, всегда разбивается в прямую сумму двух представлений.

В дальнейшем мы увидим, что для группы и группы такие два представления уже неприводимы (для произвольной линейной группы это не так).

Пример 2. Смешанный тензор второго ранга преобразуется по представлению которое может быть записано с помощью явной формулы, указанной в этом параграфе:

Здесь произвольная матрица Пространство Z всех таких матриц запишем в виде суммы подпространства состоящего из матриц с нулевым следом, и одномерного подпространства натянутого на единичную матрицу

Нетрудно видеть, что инвариантны. Следовательно, также записывается всегда в виде суммы двух представлений.

Заметим, что пространство неприводимо (ибо одномерно). Для группы мы докажем в дальнейшем также неприводимость

Пример 3. Любопытно сравнить следующие два представления аддитивной группы вещественных чисел матрицами второго порядка:

Первое из этих представлений неприводимо над полем но распадается в прямую сумму двух представлений над полем С:

где тильда означает эквивалентность. В то же время второе представление приводимо, но, как легко проверить, не вполне приводимо.

Для бесконечномерных представлений многие из приведенных определений нуждаются в дополнениях и уточнениях; в частности, для таких представлений существует много различных определений неприводимости и эквивалентности.