§ 87. Билинейная форма Киллинга — Картана

Пусть X — произвольная алгебра Ли, комплексная или вещественная. Для любых элементов положим

Полученная билинейная форма называется формой Киллинга — Картана. Она обладает следующими свойствами:

Мы не станем останавливаться на несложной проверке этих соотношений. Заметим, что свойство 2° может быть также записано в виде

Следовательно, операторы являются кососимметричными относительно этой формы.

Пусть пространство всех векторов, ортогональных к каждому вектору из Если вектор х обладает этим свойством, то согласно 2 тем же свойством обладает Следовательно, является идеалом в

Особый интерес представляют два крайних случая: В первом случае тождественно на всей алгебре X, и это условие равносильно более частному условию Во втором случае форма называется невырожденной. Докажем вначале, что имеет место

Теорема 3 (Критерий Картана). Если на всей алгебре X, то алгебра X является разрешимой.

Доказательство. Ввиду возможности комплексного расширения мы можем считать, не ограничивая общности, что алгебра X является комплексной. Докажем вначале, что

Действительно, если то для всякого разложения Фиттинга мы имеем Следовательно, подалгебра является линейной оболочкой коммутаторов вида Согласно замечанию, сделанному в конце § 86, мы имеем

где Следовательно, для всех коммутаторов а потому и для всех элементов из Но это означает, что все корни относительно нулевые, т. е. X. Следовательно, алгебра X нильпотентна и вопреки допущению.

Итак, силу свойства 3° формы Киллинга — Картана также на подалгебре Следовательно, Следовательно, при достаточно высоком т. е. алгебра X разрешима. Теорема доказана.

Как легко убедиться на простых примерах, обратное утверждение неверно, т. е. не обязательно равно нулю для всякой разрешимой алгебры Однако имеет место

Теорема 4. Алгебра X разрешима тогда и только тогда, когда для производной подалгебры

Доказательство. Если для то, в частности, для Следовательно, алгебра X разрешима. Поскольку фактор-алгебра коммутативна, то она также разрешима. Следовательно (см. § 84), алгебра X также разрешима.

С другой стороны, если алгебра X разрешима, то подалгебра X нильпотентна (§ 85). Приводя операторы к треугольной форме (в вещественном случае к квазитреугольной), замечаем, что собственные значения (диагональные блоки) оператора равны нулю, если Следовательно, Теорема доказана.

Покажем теперь, что в терминах билинейной формы Киллинга — Картана можно также дать независимую характеристику полупростых алгебр Ли.

Теорема 5. Алгебра X является, полупростой тогда и только тогда, когда билинейная форма невырождена.

Доказательство. Если алгебра X проста, не содержит ни одного идеала, кроме (0) и в частности, и алгебра X не может быть разрешимой. Если алгебра X полупроста, то всякий ее идеал является суммой простых подалгебр. Следовательно, алгебра X не содержит ни одного разрешимого идеала, кроме . В то же время, если положим то на форма Киллинга — Картана обращается в нуль, откуда следует, что — разрешимый идеал (теорема 3). Следовательно, и форма Киллинга — Картана невырождена.

С другой стороны, предположим, что билинейная форма невырождена, и покажем, что присоединенное представление в алгебре X вполне приводимо. Если — идеал, то его ортогональное дополнение в виду 2 также является идеалом. Следовательно, также является идеалом. Полагая получаем из тождества Якоби, что откуда т. е. эбелев идеал. Если то оператор переводит в (0), откуда следует, что т. е. В результате Отсюда (прямая сумма). Действительно, если вектор 2 ортогонален то откуда Мы показали, что алгебра X редуктивна. Если центр алгебры X, то откуда, как и выше, заключаем, что Следовательно, алгебра X полупроста. Теорема доказана.

Следствие 1. Алгебра X полупроста тогда и только тогда, когда она не содержит ни одного разрешимого идеала, кроме (0).

Следствие 2. Алгебра X полупроста тогда и только тогда, когда она не содержит ни одного коммутативного идеала, кроме (0).

Следствие 3. Условие полупростоты можно также записывать в виде

Доказательства (несложные) предоставляются читателю. Каждое из приведенных условий может быть выбрано в качестве независимого определения полупростой

алгебры Ли. В заключение этого параграфа получим еще один результат как следствие теоремы 5:

Теорема 6. Если алгебра X полупроста, то всякое ее дифференцирование является внутренним.

Доказательство. Пусть алгебра всех дифференцирований и -подалгебра, образованная внутренними дифференцированиями Поскольку алгебра X имеет нулевой центр, то представление является точным, и алгебра X полупроста. Далее, если дифференцирование и то легко проверить формулу

из которой следует, что является идеалом в Но тогда ортогональное дополнение к идеалу X относительно скалярного произведения также является идеалом в Из невырожденности формы в идеале X следует, что уравнение разрешимо относительно для любого Следовательно, Пересечение ортогонально к X во всей алгебре но тогда и в идеале (свойство 3° формы Киллинга — Картана); следовательно, (ибо X полупроста). Оператор содержится как в идеале X, так и в идеале если следовательно, Но тогда также для всякого откуда . В результате Теорема доказана.

Упражнение

(см. скан)