с компактными носителями на G. Особый интерес представляет семейство обобщенных функций, сосредоточенных в единичной точке группы G. Это семейство изоморфно универсальной обертывающей алгебре X, построенной по алгебре Ли группы G.
Все перечисленные здесь результаты являются аналогами классических теорем типа Пэли — Винера на прямой (см., например, [15]). Эти результаты имеют принципиальное значение в теории бесконечномерных представлений группы G.
пространство всех бесконечно дифференцируемых финитных функций 
на группе G. Особый интерес представляет описание образа 9! пространства 
при преобразовании Фурье 
Заметим, что 
является алгеброй относительно свертки на группе G. Преобразование Фурье переводит свертку функций на G в умножение их образов 
Таким образом, множество 
является алгеброй относительно произведения операторных функций 
Оператор А называется оператором Гильберта-Шмидта, если 
. В частности, все операторы 
являются операторами Гильберта — Шмидта. При этом 
является слабо аналитической операторной функцией с оценками вида
показатель сигнатуры 
оператор Лапласа — Бельтрами на группе 
Кроме того, как и 
удовлетворяет соотношениям «частичной эквивалентности», о которых упоминалось в § 4. Если 
ранг группы 
то существует 
операторов 
зависящих от сигнатуры а, для которых выполняются следующие «соотношения симметрии»:
являются интегральными, а 
-дифференциальными операторами в 
Все остальные соотношения эквивалентности и «частичной эквивалентности» между операторами 
являются следствиями соотношений 2°.
Этот результат принадлежит автору [89]. Полученные свойства позволяют описывать финитность и бесконечную дифференцируемость функции 
в терминах ее преобразования Фурье.
для «быстро убывающих функций» 
и даже для всех обобщенных функций 
