§ 89. Теорема Леви — Мальцева

Проведенная выше классификация не является полной в том смысле, что существуют груплы (алгебры) Ли, которые не относятся ни к одному из выделенных классов. В частности, это верно даже для такой классической группы, как группа движений евклидова пространства (включающая повороты и трансляции). Оказывается, однако, что любая группа (или алгебра) Ли может быть (в известном смысле) составлена из отдельных подгрупп, каждая из которых уже относится к перечисленным выше классам.

Рассмотрим вначале алгебры Ли. Пусть X — такая алгебра и ее максимальный разрешимый идеал. Подалгебра называется радикалом в алгебре Очевидно, фактор-алгебра уже не содержит разрешимых нормальных делителей. Следовательно, алгебра полупроста.

Теорема 7 (Леви — Мальцев). Всякая алгебра Ли может быть разложена (как линейное пространство) в прямую сумму своего радикала и полупростой подалгебры

Подалгебра является максимальной полупростой подалгеброй в алгебре Она определяется однозначно с точностью до автоморфизма.

Мы не будем приводить доказательства этой теоремы, поскольку оно является достаточно сложным и это

увело бы нас в сторону от основного направления данной книги. Отметим только соотношения коммутации:

Последнее соотношение является следствием того, что алгебра является идеалом. Таким образом, вообще говоря, т. е. разложение Леви — Мальцева не является прямой суммой двух идеалов.

Таким образом, основным содержанием теоремы 7 является результат о существовании в X подалгебры дополнительной к радикалу (отсюда уже вытекает, что алгебра является максимальной полупростой). Отсюда, очевидно, вытекают аналогичные результаты для произвольной связной группы Ли.

Пусть связная группа Ли, разложение Леви — Мальцева для ее алгебры Ли, и аналитические подгруппы, отвечающие подалгебрам Тогда мы имеем

При этом является нормальным делителем в G и группа является максимальной в классе полупростых связных подгрупп в группе G. Кроме того, и являются замкнутыми подгруппами.

Полученное разложение, вообще говоря, неоднозначно; однако очевидно, дискретно (действительно, алгеброй Ли такой подгруппы является (0)). Если односвязная группа Ли, то полученное разложение однозначно и подгруппы являются односвязными ([108]).

Пример. Пусть группа движений -мерного евклидова пространства. Если произвольный вектор этого пространства, то действие группы определяется по формуле

где а — поворот и трансляция. Вместо вектора х удобно рассматривать -мерный вектор координата которого равна единице. Тогда

группа G может быть записана как группа матриц:

Подгруппа поворотов выделяется условием подгруппа трансляций выделяется условием где единичная матрица порядка Нетрудно показать, что всякая ортогональная группа является полупростой. Следовательно, является радикалом в группе G. Разложение в данном случае очевидно.

Замечание 1. Группа G из этого примера не является связной. Однако мы получим связную группу, если ограничимся связной компонентой единицы. (Для этого достаточно наложить ограничение

Замечание 2. Если группа G допускает однозначное разложение в произведение двух подгрупп, причем одна из этих подгрупп является нормальным делителем в то говорят, что G является полупрямым произведением В частности, группа движений является полупрямым произведением своих подгрупп и

Таким образом, теорема Леви — Мальцева показывает, что всякая связная группа Ли конструируется из разрешимой и полупростой примерно по тому же правилу, как группа движений евклидова пространства составляется из трансляций и вращений.

Как мы видели в этой главе, существует много вариантов естественного определения для основных типов алгебр Ли. Мы попытались унифицировать эти определения, прибегая к терминам присоединенного представления. Однако получаемые таким путем определения иногда недостаточно эффективны для проверки. Например, теорема Энгеля дает гораздо более простой критерий нильпотентности алгебры В литературе наиболее употребительными являются определения простоты и полупростоты, заключенные в следствиях 1 и 2 из теоремы 5. С. Хелгасон [42] принимает в качестве определения полупростоты непосредственно условие невырожденности формы Киллинга — Картана (теорема 5). Для разрешимости и нильпотентности наиболее употребительными являются

определения в терминах последовательных производных и центральных рядов.

Невырожденность формы Киллинга — Картана является, по-видимому, наиболее существенной информацией, необходимой для дальнейшего изучения простых и полупростых алгебр Ли. Напомним, что этот результат в свою очередь является следствием критерия разрешимости Э. Картана (теорема 3). При доказательстве этого критерия мы воспользовались, следуя [77], разложением Фиттинга в алгебре Однако существует еще и другой вариант доказательства — при помощи так называемых «реплик» линейного оператора ([128]). Доказательство теоремы о дифференцированиях (теорема 6) мы заимствуем из книги С. Хелгасона [42]. Теорема Ли в глобальной формулировке, по-видимому, впервые была доказана Годеманом [74].

Существование разложения для произвольной алгебры Ли было впервые доказано Э. Лев и [106]. Единственность полупростой подалгебры доказана А. И. Мальцевым [110] и также независимо Хариш-Чандрой [136]. Доказательства см., например, в [19], [46], [113], [125].