§ 93. Простые корни

Пусть размерность картановской подалгебры Как следует из определения этой подалгебры, число является инвариантной характеристикой алгебры X (не зависящей от выбора Это число называется рангом алгебры Покажем вначале, что имеет место следующее утверждение:

1° Среди корней подалгебры имеется ровно линейно независимых.

Действительно, если а для всех значений то для всякого корня а, откуда т. е. (поскольку форма Киллинга-Картана невырождена на подалгебре Следовательно, линейная оболочка всех корней а совпадает со всей алгеброй.

Исследуем несколько подробнее геометрические свойства системы корней.

2° Пусть вещественная линейная оболочка системы всех корней. Тогда форма Киллинга — Картана является (строго) положительно определенной на и рационально для каждой пары корней

Действительно, если то и скалярный квадрат элемента а может быть вычислен по

общему правилу, указанному в конце § 86:

Здесь в правой части этого равенства скалярное произведение рассматривается как значение линейной формы а на векторе . Поскольку то мы имеем

Следовательно, есть положительное рациональное число. Далее, если — корень, то где -рациональное число (см. конец § 86). Следовательно, значение является рациональным для каждой пары корней Отсюда также заключаем, что форма Киллинга — Картана является вещественной на Наконец, если мы имеем

Равенство возможно только при Следовательно, форма Киллинга — Картана является (строго) положительно определенной на

Введем теперь следующее

Определение 3. Положительный корень со называется простым, если его невозможно представить в виде суммы двух положительных корней.

Теорема 3. Простые корни образуют базис в картановской подалгебре Всякий корень а однозначно записывается в виде 2 где — простые корни и целые числа одинакового знака.

Доказательство. Если а — положительный корень, то возможность его представления в виде суммы простых корней с неотрицательными целыми коэффициентами очевидна. Действительно, если корень а не простой, то где положительные корни, причем, очевидно, (относительно лексикографической упорядоченности в Следовательно, наше утверждение доказывается путем конечной

индукции. Остается проверить, что простые корни линейно независимы.

Согласно замечанию, сделанному в конце § 92, для каждой пары корней имеет место следующая формула:

где минимальное и максимальное из целых чисел для которых является корнем. Допустим, в частности, что простые корни. Тогда их разность не может быть ни положительным, ни отрицательным корнем (в противном случае один из данных корней оказался бы непростым). Следовательно, в этом случае и мы получаем

Следовательно, если простые корни, то их попарные скалярные произведения либо равны нулю, либо отрицательны. Рассмотрим теперь произвольное линейное соотношение между этими корнями:

Здесь — произвольные комплексные числа. Умножая скалярно на получаем систему числовых уравнений для определения коэффициентов

Поскольку матрица этой системы действительна, то вместе с числами числа также являются решениями этой системы. Следовательно, можем рассматривать только решения в классе действительных чисел. Запишем исходное уравнение в виде

где числа неотрицательны и корни, входящие слева и справа с ненулевыми коэффициентами, различны. Пусть общее значение обеих частей этого уравнения. Поскольку то мы имеем

С другой стороны, при откуда имеем

В результате Поскольку заключаем отсюда, что Следовательно, наша система допускает только нулевые решения. Теорема доказана.

Специально отметим важное геометрическое свойство простых корней, полученное при доказательстве этой теоремы:

3° Все простые корни алгебры X расположены в вещественном евклидовом пространстве попарно под прямым или тупым углом: при

Для всех элементов из в частности, для всех корней понятие лексикографической упорядоченности можно рассматривать по отношению к базису

4° Всякий положительный корень либо является простым, либо может быть представлен в виде суммы положительного и простого корней.

Действительно, пусть положительный корень, Если для всех простых корней то откуда Следовательно, если не простой корень, то хотя бы для одного простого корня Тогда из равенства § 92 находим, что Поскольку не может быть отрицательно, то Следовательно, вектор со является корнем. Так как корень простой, то корень у не может быть отрицательным. Следовательно,

5° Если известна система всех простых корней, то по ней однозначно может быть восстановлена система А всех ненулевых корней алгебры

Действительно, рассмотрим вначале систему всех положительных корней. Запишем всякий корень

в виде и назовем число порядком этого корня. Множество всех корней порядка 1 совпадает с системой Пусть множество всех корней порядка Если система уже описана, то для описания достаточно, согласно свойству 4°, перечислить все пары для которых вектор а является корнем. Отбросим тривиальный случай Тогда мы имеем где хотя бы одно из чисел положительно. Следовательно, вектор является корнем только при Если то корень имеет порядок и такие корни нам уже известны. Следовательно, нам известно число где берется по тем значениям для которых является корнем. Тогда из равенства находим Вектор а является корнем только при