§ 3. Дифференциал элементарного представления

Как следует из определения элементарного представления инфинитезимальные операторы группы G применимы к любому вектору из пространства представления Пусть -инфинитезимальный оператор представления отвечающий элементу Полагая продолжаем дифференциал до представления универсальной обертывающей алгебры Элементы являются полиномами от инфинитезимальных операторов группы G.

Поскольку при дифференцировании оператора (§ 2) приходится дифференцировать экспоненту инфинитезимальные операторы линейно зависят от показателя сигнатуры а. Следовательно, также операторы являются полиномами от вектора

Пусть линейная оболочка (множество конечных линейных комбинаций) матричных элементов группы Пусть пересечение 3 с Векторное пространство мы будем называть основным линеалом в пространстве Покажем, что основной линеал инвариантен относительно дифференциала Для этого достаточно рассматривать только элементы

Действительно, пусть линейная оболочка всех матричных элементов из с фиксированным старшим весом Пусть К — алгебра Ли подгруппы Если то по определению С другой стороны, рассмотрим билинейную функцию как элемент тензорного произведения Формула показывает, что преобразуется алгеброй К по закону тензорного произведения где я— представление алгебры К в пространстве X, порожденное присоединенным представлением. Следовательно, где X пробегает конечное семейство неприводимых компонент из тензорного произведения

При определении семейства элементарных представлений мы видели, формально говоря, что это семейство получается «аналитическим продолжением» (по сигнатуре) из семейства неприводимых конечномерных представлений группы G. Теперь мы можем придать этому утверждению более точный смысл. Рассматривая индикаторные системы представлений нетрудно показать (см. [88]), что пространство такого представления выделяется следующей системой уравнений:

где инфинитезимальные операторы левого сдвига на отвечающие корневым векторам в комплексной оболочке алгебры К. При этом действует в только при Отсюда следует, что каждое является объединением возрастающего семейства своих подпространств

Фиксируем два произвольных матричных элемента ее и рассмотрим функцию где —скалярное произведение в Поскольку является полиномом, вполне определяется своими значениями на дискретном семействе представлений В этом смысле дифференциал является аналитическим продолжением семейства дифференциалов

Отметим простое, но важное следствие относительно операторов Казимира где — центр алгебры Если два матричных элемента из то где — символ Кронекера для пары — числовой полином от а. Действительно, эта формула верна для семейства но тогда и для произвольных Следовательно, оператор Казимира кратен единичному оператору для любого элементарного представления