§ 4. Полупрямые произведения

Рассмотрим практически важный случай, когда группа G может быть представлена в виде (однозначное разложение), где 5 — подгруппа и нормальный делитель. Такое произведение двух подгрупп называется полупрямым. (Пример: группа движений G с подгруппой вращений и подгруппой трансляций В этом параграфе мы ограничимся частным случаем, когда подгруппа коммутативна. Покажем, что знание неприводимых унитарных представлений подгруппы 5 позволяет перечислить также все неприводимые унитарные представления группы

Пусть неприводимое унитарное представление группы G в гильбертовом пространстве Согласно результатам сужение этого представления на подгруппу может быть записано в виде прямого интеграла одномерных представлений по множеству X, где X — группа всех унитарных характеров группы G. Иначе говоря, пространство мы можем реализовать в виде пространства вектор-функций причем

где - значение характера на элементе Напомним, что функции интегрируемы в квадрате по некоторой мере Знание этой меры существенно для описания представления.

Рассмотрим теперь преобразование Поскольку является нормальным делителем в то, в частности, Положим Тогда имеем

С другой стороны, рассмотрим в пространстве преобразование где характер определяется по формуле Тогда, как легко проверить, имеет место тождество

Сопоставляя последние две формулы, мы видим, что преобразование перестановочно со всеми операторами Но всякое такое преобразование, как известно ([37]), является оператором умножения на некоторую функцию от х. В результате откуда имеем

Полученные формулы вполне определяют представление группы G. Мы видим, что такое представление может быть записано по формуле индуцированного представления в некотором классе функций Однако мы не можем, вообще говоря, утверждать, что пространство X является однородным.

До сих пор мы не пользовались условием неприводимости представления Очевидно, свойство приводимости существенно зависит

от структуры преобразования в пространстве X, а также от меры Может случиться, что преобразование является эргодическим (§ 17). Этот случай особенно сложен для изучения, и мы его исключим. Иначе говоря, предположим, что пространство X расслаивается на однородные. При этом можно показать, что в силу неприводимости мера сосредоточена лишь на одной однородной компоненте

Условимся теперь рассматривать функции только при Тогда согласно мы получаем формулу индуцированного представления в классе функций на однородном пространстве Согласно результатам предыдущего параграфа представление индуцируется некоторым представлением подгруппы причем можно считать, что

где точка определяется из разложения Подгруппа есть стационарная подгруппа некоторой фиксированной точки Отсюда следует, что содержит (ввиду коммутативности Следовательно, мы имеем

где о — некоторая подгруппа группы Очевидно также, что поскольку Допуская вольность речи, иногда говорят, что представление индуцируется представлением подгруппы Однако в действительности представление характеризуется следующими данными: 1) неприводимое представление подгруппы характер подгруппы такой, что мера на орбите

Пример. Пусть группа движений -мерного евклидова пространства с подгруппой вращений и подгруппой трансляций Символически удобно записывать элементы в виде матриц порядка следующего вида:

где -мерный вектор, отвечающий трансляции При этом мы отождествляем элементы с матрицами

где единичная матрица Вычисляя находим, что это преобразование сводится к замене вектора на Далее, всякий характер запишем в виде где скобка означает скалярное произведение -мерных векторов Отсюда следует, что преобразование сводится к замене вектора а на Действительно,

Всякая орбита преобразования есть сфера в -мерном пространстве некоторого радиуса Рассмотрим такую сферу тогда на ней существует мера инвариантная относительно поворотов Искомое пространство функций составим из функции квадратично интегрируемых относительно

Остается определить подгруппу Фиксируем произвольную точку Подгруппа поворотов сохраняющих эту точку, очевидно, изоморфна В результате где подгруппа трансляций. Согласно изложенной выше общей теории нетрудно получить, что всякое неприводимое унитарное представление группы G задается следующими данными: 1) неприводимым (конечномерным) представлением группы ; 2) неотрицательным числом (радиус орбиты). Мера при этом определяется однозначно с точностью до множителя.

Результаты, изложенные в этом параграфе, принадлежат Г. Макки [107]. [107]. Мы опустили все сложные вопросы, связанные с теорией меры, в том числе рассмотрение эргодических движений.