§ 75. Вторая формула Вейля

Вернемся к общей формуле для примитивных характеров Введем систему вспомогательных чисел и заметим, что имеет место следующее тождество:

которое получается разложением слева каждого матричного элемента в геометрическую прогрессию. Здесь задается тем же детерминантом, что и в условиях теоремы 1, и суммирование ведется по всем сигнатурам для которых числа неотрицательны. С другой стороны, в теории матриц известно следующее тождество Коши:

Здесь, как и в условиях теоремы есть определитель Вандермонда и произведение в знаменателе берется по всем значениям Сравнивая оба тождества и вспоминая, что получаем следующую формулу для характеров:

Выражение, стоящее справа, можно было бы назвать производящей функцией для характеров. Заметим, что есть характеристический полином диагональной матрицы При этом

где есть сумма всевозможных одночленов вида степени однородности Иначе говоря, есть характер симметрического представления где -мерное представление группы с сигнатурой . Полагая и перемножая полученные ряды, мы запишем производящую функцию в виде ряда, коэффициентами которого являются полиномы от Умножая эту функцию на мы получим новый ряд, коэффициенты которого должны совпадать, согласно приведенной выше формуле, с характерами Путем несложного вычисления получаем отсюда

Полученная формула выражает характер произвольного представления через характеры При этом для общности записи мы полагаем при Выражая параметры через параметры сигнатуры получаем следующий результат:

Теорема 2. Характер неприводимого представления может быть найден по следующей формуле:

где характер симметрического представления

причем сумма берется по всевозможным показателям для которых При этом полагается при

Полученную формулу мы называем второй формулой Вейля. Она представляет характер уже непосредственно в виде полинома от

Вторая формула Вейля допускает замечательную интерпретацию в терминах спектрального анализа представлений. Для получения этой интерпретации напомним основные свойства матричного следа.

Поскольку след является аддитивной функцией по отношению к сумме матриц, то он аддитивен также по отношению к прямой сумме матриц разных размерностей. Кроме того, как известно, след является мультипликативной функцией по отношению к прямому произведению. В результате получаем

характеры представлений символ означает прямую сумму и символ прямое (тензорное) произведение представлений Если то мы положим также Тогда имеем

Полученные правила очевидным образом переносятся на произвольные конечные системы представлений. При этом сложению, вычитанию и умножению в классе представлений отвечают такие же операции в классе

характеров. Иначе говоря, если то мы имеем

Далее, всякое конечномерное представление определяется своим характером однозначно с точностью до эквивалентности. Следовательно, указанные выше правила допускают обращение, и мы заключаем, что всякое алгебраическое соотношение между характерами равносильно соответствующему соотношению между представлениями.

В частности, вторая формула Вейля равносильна следующему тождеству:

При этом символ заменяется нулем, если Знак тензорного произведения над детерминантом означает, что этот символический детерминант раскрывается по обычному правилу, но каждое слагаемое понимается как тензорное произведение соответствующих сомножителей:

Здесь принимает значения принимает значения и т. д. Пример, .