§ 55. Принцип взаимности

Аппарат симметризаторов Юнга позволил нам разложить пространство на подпространства, неприводимые относительно группы G. Тот же аппарат позволяет решить аналогичную задачу и для самой симметрической группы если вместо неприводимых подпространств рассматривать максимальные подпространства, кратные неприводимым. Более глубокий анализ этой ситуации позволяет установить замечательное свойство взаимности, существующее между представлениями

Заметим вначале, что центральные симметризаторы будучи перестановочны со всеми элементами группы определяют в любом представлении этой группы проекторы на инвариантные подпространства. Если

представление неприводимо, то лишь один из таких проекторов может оказаться отличным от нуля и сводится в этом случае к единичному оператору в пространстве представления. Если представление группы 5 обладает этим свойством по отношению к то скажем, что ему соответствует сигнатура а.

В частности, пусть, как и прежде, пространство всех тензоров ранга над некоторым пространством размерности и — область значений в проектора

Как следует из теоремы является максимальным подпространством, инвариантным относительно представление в котором кратно неприводимому представлению Докажем теперь, что имеет место

Теорема 2. Пространство является максимальным подпространством в в котором представление группы кратно неприводимому с сигнатурой а. Пространство изоморфно тензорному произведению

где подпространство, натянутое на старшие векторы группы G (с сигнатурой а), и — пространство неприводимого представления Подпространство неприводимо относительно Пространство неприводимо относительно

Наконец, если обертывающие алгебры операторов в пространстве то мы имеем

где штрих означает переход к коммутаторной алгебре.

Доказательство. Начнем с доказательства последнего утверждения. Согласно теореме 1 алгебра содержит проекторы на подпространства, неприводимые относительно и в сумме дающие Достаточно рассматривать только те проекторы, которые линейно независимы. Кроме того, алгебра содержит переплетающие операторы для эквивалентных проекторов т. е. для

эквивалентных неприводимых представлений алгебры Отсюда согласно следствию 3 из леммы Шура заключаем, что тогда согласно принципу взаимности (§ 21), который мы установили как следствие из теоремы Бернсайда, мы также имеем

Перейдем к рассмотрению пространства Выберем в базис из векторов и натянем на каждый из этих векторов циклическую оболочку -относительно алгебры Тогда изоморфно и подпространства линейно независимы. Следовательно,

В каждом подпространстве выберем базис так, чтобы действие алгебры было идентично в каждом из этих базисов. При этом в силу единственности старшего вектора мы можем считать, что является одним из базисных векторов в Допустим, что приводимо относительно 5. Согласно равенству оператор проектирования на инвариантное подпространство является элементом из Ввиду идентичности действия такого оператора на векторы мы заключаем, что он равняется нулю или единице. Следовательно, неприводимо.

Теперь мы можем заключить, что представление группы 5 в пространстве кратно неприводимому представлению, действующему в Действительно, при каждом пространство неприводимо инвариантно относительно (ввиду коммутативности и оператор переплетает представления в Отсюда очевидно также, что неприводимо относительно

Остается доказать свойство максимальности Поскольку распадается в прямую сумму подпространств то достаточно проверить, что при а неприводимое представление в неэквивалентно представлению в Но эквивалентность таких представлений противоречила бы равенствам на на (действительно, является линейной комбинацией операторов представления). Следовательно, есть максимальное подпространство, представление

в котором относительно кратно неприводимому представлению с сигнатурой а. Теорема доказана.

Следствие 1. Среди линейных комбинаций операторов содержатся все проекторы на подпространства, неприводимые относительно

Следствие 2. Среди линейных комбинаций операторов Та содержатся все переплетающие операторы для эквивалентных подпредставлений группы

Аналоги этих утверждений при перемене ролей нам известны уже из предыдущих построений.

Замечание 1. Аппарат симметризаторов Юнга позволяет также получить каноническую реализацию всех неприводимых представлений группы с помощью (правых) сдвигов в классе функций на группе Действительно, полагая

где с интерпретируется как оператор, порожденный левыми сдвигами в групповом кольце функций мы получаем, как легко проверить, максимальное подпространство представление в котором кратно неприводимому с сигнатурой а. Аналогично, полагая

где симметризатор, «подчиненный» мы получаем более дробное разбиение пространства на подпространства, неприводимые относительно правых сдвигов. Из сравнения числа неприводимых представлений (§ 34) с числом симметризаторов заключаем, что таким путем получаются действительно все неприводимые представления группы

Подробности доказательства предоставляются читателю

Замечание 2. До сих пор мы рассматривали только контравариантные тензоры относительно G. Тем не менее нам удалось получить сигнатуры, для которых

Для группы такие сигнатуры исчерпывают все возможные сигнатуры. В случае группы для получения всех неприводимых представлений достаточно использовать умножение на скалярные представления Заметим, что в классе смешанных тензоров положение затрудняется наличием свертки

где ковариантный и контравариантный векторы. Однако, в классе чисто ковариантных векторов все построения, по существу, ничем не отличаются от изучения алгебры