§ 68. Понижающие операторы в инфинитезимальной форме

Мы установим в этом параграфе явную связь между мультипликаторами и понижающими операторами откуда, в частности, будет следовать явное выражение для базисных векторов Гельфанда — Цейтлина.

Условимся говорить, что линейный оператор в пространстве представления является весовым с весом если он перестановочен со всеми диагональными базисными операторами, кроме и если

очевидно, в этом случае оператор переводит всякий весовой вектор в весовой с умножением веса на В частности, этим свойством обладают операторы гц и поэтому для достижения большего единообразия мы условимся изменить обозначение гц на

Лемма 5. В применении к старшему вектору представления выполняется следующее тождество:

где и где положено

Доказательство. Рассмотрим вначале частный случай Поскольку в реализации на группе Z понижающие операторы действуют довольно сложно, мы используем реализацию на группе G и положим

где столбец квадратной матрицы х и выражение в правой части означает свертку векторов (при этом не обязательно считать, что

Согласно общим формулам разложения Гаусса мы имеем

где -минор, составленный из первых строк матрицы х и столбцов с номерами При этом старший вектор представления записывается в виде

Применяя к этому вектору операторы мы заметим, что если следовательно,

При этом мы воспользовались легко проверяемым тождеством

которое означает, что определитель окаймленный при помощи первой строки и последнего столбца матрицы х, равен нулю. Наконец, заметим, что

В результате получаем

т. е. в нашем случае доказано. В общем случае достаточно заметить, что все операции, входящие в порождаются подгруппой которая преобразует только базисные векторы с номерами Старший вектор имеет сигнатуру относительно этой подгруппы, и представление естественно реализуется в классе квадратных матриц где Следовательно, мы получим общий случай, если заменим на . Лемма доказана.

Если вместо параметров определяющих представление, использовать параметры записывается в виде

Полученное соотношение является соотношением рекуррентного типа и может быть поэтому использовано для вычисления мультипликаторов Догажем, что имеет место

Лемма 6. В применении к старшему вектору представления мультипликатор может быть представлен следующей формулой:

где полином от понижающих операторов и диагональных операторов

Здесь сумма берется всем возможным наборам индексов расположенных между (т. е. ), и

Доказательство. Умножая обе части справа на оператор

замечаем, что где и оператор перестановочен с В то же время в применении к старшему вектору Следовательно, переписывается в виде

где положено Поскольку это уравнение имеет матричную структуру, введем формальные матрицы

и запишем уравнение в виде

где — единичная матрица В действительности следует рассматривать такое уравнение отдельно для каждого столбца матрицы V (поскольку определение зависит от индекса ), но вместо этого мы можем считать, что вектор заменяется формальным столбцом из

элементов на месте. Очевидно, матрица

является решением этого уравнения. Действительно, и мы имеем

Расшифровывая каждый элемент полученной матрицы V, получаем Лемма доказана.

Замечание 1. В процессе доказательства мы получили следующее символическое выражение для матрицы V с элементами

где При этом и обе части равенства применяются

к вектору на месте.

Замечание 2. Условимся рассматривать как символическое произведение где «оператор рождения» и «оператор уничтожения»; тогда операторы мы можем записывать следующим образом:

где и где величины рассматриваются как независимые коэффициенты, перестановочные с при Действительно, подставляя биномы В,- и раскрывая скобки, получаем сумму всевозможных одночленов вида

с коэффициентами Нетрудно видеть также, что биномы в формуле можно считать взаимно перестановочными.

Мы будем теперь рассматривать операторы не только на старшем векторе но во всем пространстве представления

Лемма 7. Операторы взаимно перестановочны при фиксированном

Доказательство. Заметим вначале, что всякий операторный полином, содержащий только понижающие (либо только повышающие) операторы можно заменить полиномом от располагая эти операторы в произвольном порядке, но снабжая входящие в один и тот же элемент каким-либо общим индексом, скажем При этом мы используем соотношение коммутации

где символ означает символ Кроиекера пары (и операторы взаимно перестановочны при Кроме того, выражение, полученное после перестановки символов подлежит следующему правилу расшифровки: оператор располагается левее (правее) если стояло левее (правее)

Условимся также рассматривать как независимые символы, взаимно перестановочные между собой и удовлетворяющие следующим соотношениям коммутации:

(Эти правила вытекают из прежнего определения Тогда операторы мы можем рассматривать как полиномы от понижающих операторов с коэффициентами, зависящими от При имеем

Действительно, все сомножители взаимно перестановочны, за исключением пар где Снабжая символы входящие в эти выражения, индексами 1, 2, 3, 4, мы имеем

где многоточие означает сумму членов, не зависящих от порядка умножения . В то же время

В первом случае расшифровка приводит к произведению где во втором случае — к произведению где Однако и в первом и во втором случае иод знаком предполагается суммирование по Следовательно, можно менять местами. Аналогично рассматривается пара . В результате Лемма доказана.

Лемма 8. Между операторами имеет место следующее рекуррентное соотношение:

Доказательство. Вычисляя коммутатор где определяется согласно лемме О находим, что

Действительно, и все остальные коммутаторы равны нулю. Полученное выражение отличается от поскольку индексы принимают лишь значения Однако, умножая этот коммутатор слева на и добавляя получаем Следовательно,

что является лишь другой формой записи

Лемма 9. Операторы оставляют инвариантным подпространство натянутое на старшие векторы относительно подгруппы

Доказательство. Рассмотрим повышающий оператор и докажем вначале, что

где — полином от операторов зависящий от Не ограничивая общности, можем считать, что Очевидно, перестановочен с при т. е. в этом случае наше тождество доказано Остальные коммутаторы мы можем вычислить рекуррентно при помощи тождества При этом но при имеем

Тем не менее при наше тождество снова восстанавливается (несложные преобразования мы опускаем), и дальше уже без труда проходит индукция по

Пространство может быть охарактеризовано как нуль-пространство операторов при Если то мы имеем

т. е. Лемма доказана. Следствие. Оператор

отличается лишь скалярным множителем от Z-мультипликатора

в применении к старшему вектору представления

Действительно, оба эти оператора являются весовыми и имеют одинаковый вес; следовательно, оба они переводят в старшие векторы подгруппы с одним и тем же весом. Но тогда

ввиду единственности этого веса (теорема 2). Константу нетрудно вычислить при помощи леммы 6.

Действительно, ввиду коммутативности операторов мы можем применить их к вектору в порядке возрастания индексов

При этом все возникающие множители вида

являются константами по отношению к последующим дифференцирования которые согласно лемме порождаются только операторами Следовательно, можно применять непосредственно к вектору и мы получаем, что

где собственное значение на Для вычисления мы снова пользуемся леммой 6, согласно которой

Поскольку минор, стоящий в числителе является константой по отношению к дифференцированию дальнейшее применение этого оператора равносильно его применению к вектору

который снова является старшим с сигнатурой Понижая

последовательно до заключаем, что

где Перемножая эти величины при получаем окончательную формулу:

В частности, мы видим, что при Следовательно, операторы порождают (при действии на все подпространство состоящее из собственных векторов относительно

Теперь открывается возможность индукции по и мы заключаем, что имеет место

Теорема 5. Всякий базисный вектор Гельфанда — Цейтлина может быть представлен в виде

где нормирующий множитель и оператор является полиномом от понижающих и диагональных операторов

где явный вид оператора дается леммой 6 и где оператор расположен левее если (при такие операторы перестановочны).

Замечание 1. Поскольку операторы коллинеарны вообще говоря, лишь при нам остается неизвестным явный вид полиномов в реализации на группе Z.

Замечание 2. При доказательстве теоремы 5 мы пользовались явными моделями неприводимого представления Однако полученный результат выражается в терминах инфинитезимальных операций и, следовательно, универсален в том отношении, что не зависит от частной реализации