ГЛАВА XV. КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ ЛИ В ЦЕЛОМ

После детального изучения компактных алгебр Ли естественно перейти к задаче описания компактной группы «в целом». Мы опишем в этой главе некоторые структурные свойства компактных групп Ли, вытекающие из картановской теории. Кроме того, остановимся несколько более подробно на общетеоретических вопросах, которые в начале книги намечались лишь конспективно.

Одним из замечательных свойств компактной группы Ли, позволяющим решать глобальные вопросы, является ее линейность (§ 31). Иначе говоря, компактную группу Ли мы можем рассматривать как замкнутую подгруппу в Помимо линейности мы установим в начале этой главы еще более сильное свойство компактной группы — ее «алгебраичность».

Для доказательства этого свойства нам будут нужны некоторые сведения из теории инвариантов.

§ 98. Инвариантные полиномы

Пусть линейная группа, действующая в векторном пространстве Формула

где вектор, получаемый из х преобразованием переносит действие группы на алгебру полиномов Полином называется инвариантным, если

для всех Множество всех инвариантных полиномов является подалгеброй в алгебре полиномов Докажем, что имеет место

Теорема 1. Если компактная группа, то алгебра I имеет конечное число образующих.

Доказательство. В основе доказательства лежит классическая теорема Гильберта об идеалах в алгебре полиномов. Множество называется идеалом, если т. е. если для всякого и всякого Согласно теореме Гильберта ([7], [22]) для всякого идеала существует конечное число элементов таких, что всякий элемент может быть записан в виде

где Элементы называются образующими идеала

В частности, пусть алгебра полиномов, инвариантных относительно группы G. Пусть множество всех инвариантных полиномов степени Положим

тогда, очевидно, является идеалом в Образующие Гильберта можно в данном случае, очевидно, считать инвариантными и однородными.

Докажем, что элементы являются также образующими в алгебре Пусть однородный инвариантный полином, тогда мы имеем следовательно,

где Применим к обеим частям этого равенства оператор Ввиду инвариантности преобразование сводится к замене

каждого коэффициента на Используем теперь процесс усреднения по компактной группе G. Интегрируя по получаем

где результат усреднения по группе G. Согласно свойству усреднения (§ 26) является инвариантным полиномом относительно Заметим теперь, что степень каждого из полиномов должна быть строго меньше степени (в противном случае либо либо Применяя индукцию по степени, заключаем, что является полиномом от

Теорема доказана.

Пусть фиксированная точка из Множество состоящие из всех элементов называется орбитой элемента х (относительно группы Орбиту элемента х мы будем иногда обозначать Очевидно, две орбиты либо совпадают либо не имеют общих точек. Докажем, что имеет место

Теорема 2. Если компактная группа, то для каждой пары орбит существует инвариантный полином принимающий на этих орбитах разные значения.

Доказательство. Из компактности группы G следует также компактность каждой орбиты Если Ото функция

где — расстояние от точки а до множества В, положительна на и отрицательна Из компактности следует, что где Действительно, непрерывная функция на компакте достигает своего минимального значения, следовательно, равенство невозможно. Далее, по

геореме Вейерштрасса существует полином такой, что

для Очевидно, при при Применяя к оператор усреднения по группе получаем инвариантный полином положительный на и отрицательный на Теорема доказана.

Заметим, что инвариантный полином является константой на каждой орбите В то же время согласно теореме 2 алгебра таких полиномов «разделяет» отдельные орбиты.

Пример. Алгебра полиномов в трехмерном евклидовом пространстве, инвариантных относительно поворотов, содержит единственную образующую Каждая орбита есть сфера радиуса Отсюда непосредственно видно, что принимает различные значения на каждой паре различных орбит. Иначе говоря, орбиты совпадают тогда и только тогда, когда